Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là số phức thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=1$ và $\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=\sqrt{6}$. Giá trị của biểu thức $P=\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ là
A. $P=3$.
B. $P=4$.
C. $P=\sqrt{3}$.
D. $P=2$.
A. $P=3$.
B. $P=4$.
C. $P=\sqrt{3}$.
D. $P=2$.
Ta có
$\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=1\Rightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}=1,{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}=1$.
$\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=\sqrt{6}\Rightarrow \left( {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}-2\overline{{{z}_{2}}} \right)=6\Rightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+4{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}-2\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)=6\Rightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=-\dfrac{1}{2}$. Suy ra
${{P}^{2}}={{\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( 2\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}} \right)=4{{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}+2\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)=4\Rightarrow P=2$.
$\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=1\Rightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}=1,{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}=1$.
$\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=\sqrt{6}\Rightarrow \left( {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}-2\overline{{{z}_{2}}} \right)=6\Rightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+4{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}-2\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)=6\Rightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=-\dfrac{1}{2}$. Suy ra
${{P}^{2}}={{\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( 2\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}} \right)=4{{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}+2\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)=4\Rightarrow P=2$.
Đáp án D.