Cho $z_1,z_2$ là hai nghiệm phương trình $\left|...

Ta có: $|6-3i+iz|=|2z-6-9i|\iff |z-3-6i|=|2z-6-9i|$
Đặt $z=x+yi$, khi đó $|z-3-6i|=|2z-6-9i|\iff |(x-3)+(y-6)i|=|(2x-6)+(2y-9)i|$
$\iff {(x-3)}^2+{(y-6)}^2={(2x-6)}^2+{(2y-9)}^2$
$\iff x^2-6x+9+y^2-12y+36=4x^2-24x+36+4y^2-36y+81$
$\iff 3x^2+3y^2-18x-24y+72=0$
$\iff x^2+y^2-6x-8y+24=0$
$\Rightarrow$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_1,z_2$ là đường tròn tâm $I(3;4)$, bán kính $1$.

Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z_1,z_2$ và $C$ là trung điểm $AB$.
Do $C$ là trung điểm dây cung $AB=|z_1-z_2|$ nên ta có $IC=\sqrt{R^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{2}}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$.
Nên $C$ thuộc đường tròn tâm $I(3;4)$, bán kính ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.
Khi đó $|z_1+z_2|=|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=2\left|\overrightarrow{OC}\right|=2|\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC}|\le 2(OI+IC)=2(5+{\displaystyle \frac{3}{5}})={\displaystyle \frac{56}{5}}$.