Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phương trình $\left| 6-3i+iz \right|=\left| 2z-6-9i \right|$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{8}{5}$. Giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ là
A. $5$
B. $\dfrac{56}{5}$
C. $\dfrac{31}{5}$
D. $4\sqrt{2}$
Ta có: $\left| 6-3i+iz \right|=\left| 2z-6-9i \right|\Leftrightarrow \left| z-3-6i \right|=\left| 2z-6-9i \right|$
Đặt $z=x+yi$, khi đó $\left| z-3-6i \right|=\left| 2z-6-9i \right|\Leftrightarrow \left| \left( x-3 \right)+\left( y-6 \right)i \right|=\left| \left( 2x-6 \right)+\left( 2y-9 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}={{\left( 2x-6 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-9 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9+{{y}^{2}}-12y+36=4{{x}^{2}}-24x+36+4{{y}^{2}}-36y+81$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}-18x-24y+72=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y+24=0$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $1$.
Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và $C$ là trung điểm $AB$.
Do $C$ là trung điểm dây cung $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nên ta có $IC=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}}=\dfrac{3}{5}$.
Nên $C$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $\dfrac{3}{5}$.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|=2\left| \overrightarrow{OC} \right|=2\left| \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC} \right|\le 2\left( OI+IC \right)=2\left( 5+\dfrac{3}{5} \right)=\dfrac{56}{5}$.
A. $5$
B. $\dfrac{56}{5}$
C. $\dfrac{31}{5}$
D. $4\sqrt{2}$
Ta có: $\left| 6-3i+iz \right|=\left| 2z-6-9i \right|\Leftrightarrow \left| z-3-6i \right|=\left| 2z-6-9i \right|$
Đặt $z=x+yi$, khi đó $\left| z-3-6i \right|=\left| 2z-6-9i \right|\Leftrightarrow \left| \left( x-3 \right)+\left( y-6 \right)i \right|=\left| \left( 2x-6 \right)+\left( 2y-9 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}={{\left( 2x-6 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-9 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9+{{y}^{2}}-12y+36=4{{x}^{2}}-24x+36+4{{y}^{2}}-36y+81$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}-18x-24y+72=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y+24=0$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $1$.
Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và $C$ là trung điểm $AB$.
Do $C$ là trung điểm dây cung $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nên ta có $IC=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}}=\dfrac{3}{5}$.
Nên $C$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $\dfrac{3}{5}$.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|=2\left| \overrightarrow{OC} \right|=2\left| \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC} \right|\le 2\left( OI+IC \right)=2\left( 5+\dfrac{3}{5} \right)=\dfrac{56}{5}$.
Đáp án B.