Cho $z_1$ là số phức, $z_2$ là số thực thỏa...

Đặt $z_1=x+yi$ và $z_2=a(x,y,a\in \mathbb{R})\Rightarrow M(x;y);N(a;0)\Rightarrow \left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{(x-a)}^2+y^2}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z_1$ và $z_2$.
Khi đó: $P=|z_1-z_2|=\sqrt{{(x-a)}^2+y^2}=MN.$
Ta có
• $|z_1-(3+2i)|=1\iff {(x-3)}^2+{(y-2)}^2=1\Rightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $I(3;2)$, bán kính $R=1$ $\left(1\right)$
• $z_2$ là số thực $\Rightarrow N$ thuộc trục $Ox$. $(2)$
• ${\displaystyle \frac{z_2-z_1}{2-i}}={\displaystyle \frac{(-2x+y+2a)+(-x-2y+a)i}{5}}$ là số thuần ảo $\Rightarrow -2x+y+2a=0$. $\left(3\right)$
• Suy ra $M,N$ thuộc đường thẳng $-2x+y+2a=0$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{u}=(1;2)$. $(4)$
• Ta có hình:

Từ $(1),(2),(4)$ và dựa vào hình trên $\Rightarrow P_{\text{min}}=M_1{N}_1$.
Với $x=3\Rightarrow$ Thế vào ${(x-3)}^2+{(y-2)}^2=1$ ta được ${(y-2)}^2=1\iff [\begin{array}{c}y=3\\ y=1\end{array}$.
Nhận thấy $y=1$ thỏa mãn do $y_{M_1}<y_I$. Từ $\left(3\right)\Rightarrow -2.3+1+2a=0\iff a=2$.
Do đó $M_1(3;1);N_1(2;0)\Rightarrow M_1{N}_1=\sqrt{{(2-3)}^2+{(0-1)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$.
Nhận xét: $(1),(2),(4)\Rightarrow P_{\text{max}}=M_2{N}_2$ và $M_2(3;3),N_2({\displaystyle \frac{3}{2}};0)\Rightarrow P_{max}={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}}$.