Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}}$ là số phức, ${{z}_{2}}$ là số thực thỏa $|{{z}_{1}}-(3+2i)|=1$ và $\dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{2-i}$ là số thuần ảo. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|$ là
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.
C. $\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.
C. $\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{2}$.
Đặt ${{z}_{1}}=x+yi$ và ${{z}_{2}}=a\quad \left( x,y,a\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow M\left( x;y \right); N\left( a;0 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{MN} \right|=\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$.
Khi đó: $P=|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|=\sqrt{{{(x-a)}^{2}}+{{y}^{2}}}=MN.$
Ta có
• $|{{z}_{1}}-(3+2i)|=1\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\Rightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;2 \right)$, bán kính $R=1$ $\left( 1 \right)$
• ${{z}_{2}}$ là số thực $\Rightarrow N$ thuộc trục $Ox$. $(2)$
• $\dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{2-i}=\dfrac{(-2x+y+2a)+(-x-2y+a)i}{5}$ là số thuần ảo $\Rightarrow -2x+y+2a=0$. $\left( 3 \right)$
• Suy ra $M,N$ thuộc đường thẳng $-2x+y+2a=0$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}$ cùng phương $\vec{u}=(1;2)$. $(4)$
• Ta có hình:
Từ $(1),(2),(4)$ và dựa vào hình trên $\Rightarrow {{P}_{\text{min}}}={{M}_{1}}{{N}_{1}}$.
Với $x=3\Rightarrow $ Thế vào ${{(x-3)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1$ ta được ${{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
y=3 \\
y=1 \\
\end{matrix} \right.$.
Nhận thấy $y=1$ thỏa mãn do ${{y}_{{{M}_{1}}}}<{{y}_{I}}$. Từ $\left( 3 \right)\Rightarrow -2.3+1+2a=0\Leftrightarrow a=2$.
Do đó ${{M}_{1}}\left( 3;1 \right); {{N}_{1}}\left( 2;0 \right)\Rightarrow {{M}_{1}}{{N}_{1}}=\sqrt{{{\left( 2-3 \right)}^{2}}+{{\left( 0-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Nhận xét: $(1),(2),(4)\Rightarrow {{P}_{\text{max}}}={{M}_{2}}{{N}_{2}}$ và ${{M}_{2}}\left( 3;3 \right), {{N}_{2}}\left( \dfrac{3}{2};0 \right)\Rightarrow {{P}_{\max }}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$.
Khi đó: $P=|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|=\sqrt{{{(x-a)}^{2}}+{{y}^{2}}}=MN.$
Ta có
• $|{{z}_{1}}-(3+2i)|=1\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\Rightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;2 \right)$, bán kính $R=1$ $\left( 1 \right)$
• ${{z}_{2}}$ là số thực $\Rightarrow N$ thuộc trục $Ox$. $(2)$
• $\dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{2-i}=\dfrac{(-2x+y+2a)+(-x-2y+a)i}{5}$ là số thuần ảo $\Rightarrow -2x+y+2a=0$. $\left( 3 \right)$
• Suy ra $M,N$ thuộc đường thẳng $-2x+y+2a=0$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}$ cùng phương $\vec{u}=(1;2)$. $(4)$
• Ta có hình:
Từ $(1),(2),(4)$ và dựa vào hình trên $\Rightarrow {{P}_{\text{min}}}={{M}_{1}}{{N}_{1}}$.
Với $x=3\Rightarrow $ Thế vào ${{(x-3)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1$ ta được ${{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
y=3 \\
y=1 \\
\end{matrix} \right.$.
Nhận thấy $y=1$ thỏa mãn do ${{y}_{{{M}_{1}}}}<{{y}_{I}}$. Từ $\left( 3 \right)\Rightarrow -2.3+1+2a=0\Leftrightarrow a=2$.
Do đó ${{M}_{1}}\left( 3;1 \right); {{N}_{1}}\left( 2;0 \right)\Rightarrow {{M}_{1}}{{N}_{1}}=\sqrt{{{\left( 2-3 \right)}^{2}}+{{\left( 0-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Nhận xét: $(1),(2),(4)\Rightarrow {{P}_{\text{max}}}={{M}_{2}}{{N}_{2}}$ và ${{M}_{2}}\left( 3;3 \right), {{N}_{2}}\left( \dfrac{3}{2};0 \right)\Rightarrow {{P}_{\max }}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.
Đáp án B.