Google
Câu hỏi: Cho x, y thỏa mãn ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}+{{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}={{4}^{x}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{x+2y}{x+y+1}$ khi x, y thay đổi.
A. ${{P}_{\min }}=-2$
B. ${{P}_{\min }}=1$
C. ${{P}_{\min }}=0$
D. ${{P}_{\min }}=-1$
A. ${{P}_{\min }}=-2$
B. ${{P}_{\min }}=1$
C. ${{P}_{\min }}=0$
D. ${{P}_{\min }}=-1$
Ta có: ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}+{{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}={{4}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=-2x+{{2}^{2x}}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=f\left( 2x \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2x$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\text{ }\left( C \right)$ nên (C) là đường tròn tâm $I\left( 1;0 \right),\!\!~\!\!R=1.$
Mặt khác
$P=\dfrac{x+2y}{x+y+1}\Rightarrow Px+Py+1=x+2y\Leftrightarrow \left( P-1 \right)x+\left( P-2 \right)y+P=0\left( d \right)$
d có điểm chung với (C) khi $d(I;(d))\le R\Leftrightarrow \dfrac{|P-1+P|}{\sqrt{{{\left( P-1 \right)}^{2}}+{{\left( P-2 \right)}^{2}}}}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\left( 2P-1 \right)}^{2}}\le 2{{P}^{2}}-6P+5\Leftrightarrow 2{{P}^{2}}+2P-4\le 0\Leftrightarrow -2\le P\le 1$
Vậy ${{P}_{\min }}=-2$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=f\left( 2x \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2x$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\text{ }\left( C \right)$ nên (C) là đường tròn tâm $I\left( 1;0 \right),\!\!~\!\!R=1.$
Mặt khác
$P=\dfrac{x+2y}{x+y+1}\Rightarrow Px+Py+1=x+2y\Leftrightarrow \left( P-1 \right)x+\left( P-2 \right)y+P=0\left( d \right)$
d có điểm chung với (C) khi $d(I;(d))\le R\Leftrightarrow \dfrac{|P-1+P|}{\sqrt{{{\left( P-1 \right)}^{2}}+{{\left( P-2 \right)}^{2}}}}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\left( 2P-1 \right)}^{2}}\le 2{{P}^{2}}-6P+5\Leftrightarrow 2{{P}^{2}}+2P-4\le 0\Leftrightarrow -2\le P\le 1$
Vậy ${{P}_{\min }}=-2$
Đáp án A.