Google
Câu hỏi: Cho $x,y$ là số thực dương thỏa mãn $\ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức $P=x+y$ .
A. ${{P}_{\text{min}}}=6$
B. ${{P}_{\text{min}}}=2\sqrt{2}+3$.
C. ${{P}_{\text{min}}}=3\sqrt{2}+2$.
D. ${{P}_{\text{min}}}=\sqrt{17}+\sqrt{2}$.
A. ${{P}_{\text{min}}}=6$
B. ${{P}_{\text{min}}}=2\sqrt{2}+3$.
C. ${{P}_{\text{min}}}=3\sqrt{2}+2$.
D. ${{P}_{\text{min}}}=\sqrt{17}+\sqrt{2}$.
Ta có $\ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow xy\ge {{x}^{2}}+y\Leftrightarrow y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}>0 \\
& y>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x-1>0\Leftrightarrow x>1$.
Với điều kiện $x>1$ khi đó $y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow y\ge \dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ .
Ta có $P=x+y\ge x+\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=x+\dfrac{{{x}^{2}}-1+1}{x-1}=2x+1+\dfrac{1}{x-1}=2\left( x-1 \right)+\dfrac{1}{x-1}+3\ge 2\sqrt{2}+3$ .
Khi đó ${{P}_{\min }}=2\sqrt{2}+3$ . Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow 2{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& x=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{P}_{\min }}=2\sqrt{2}+3$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}>0 \\
& y>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x-1>0\Leftrightarrow x>1$.
Với điều kiện $x>1$ khi đó $y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow y\ge \dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ .
Ta có $P=x+y\ge x+\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=x+\dfrac{{{x}^{2}}-1+1}{x-1}=2x+1+\dfrac{1}{x-1}=2\left( x-1 \right)+\dfrac{1}{x-1}+3\ge 2\sqrt{2}+3$ .
Khi đó ${{P}_{\min }}=2\sqrt{2}+3$ . Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow 2{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& x=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{P}_{\min }}=2\sqrt{2}+3$
Đáp án B.
