Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)={{\ln }^{3}}x+6(m-1){{\ln }^{2}}x-3{{m}^{2}}\ln x+4$. Biết rằng đoạn [a, b] là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên khoảng $(e,+\infty )$. Giá trị biểu thức $a+3b$ bẳng
A. $4+\sqrt{6}$.
B. $12+2\sqrt{6}$.
C. 1
D. 3.
A. $4+\sqrt{6}$.
B. $12+2\sqrt{6}$.
C. 1
D. 3.
Đặt $t=\ln x$ là hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$ và $x\in (e,+\infty )\to t\in (1;+\infty )$.
Xét hàm số $g(t)={{t}^{3}}+6(m-1){{t}^{2}}-3{{m}^{2}}t+4$ trên khoảng $(1;+\infty )$.
Ta có: ${{g}^{\prime }}(t)=3{{t}^{2}}+12(m-1)t-3{{m}^{2}}$ và $\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} g(t)=+\infty $
Hàm số $y=|g(t)|$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{g}^{\prime }}(t)\ge 0,\forall t\in [1;+\infty )(1) \\
g(1)\ge 0 \\
\end{array} \right.$
$+(2)\Rightarrow -3{{m}^{2}}+6m-1\ge 0\Rightarrow \dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\le m\le \dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$
$+{{\Delta }_{{{g}^{\prime }}}}=36{{(m-1)}^{2}}+9{{m}^{2}}>0,\forall m\to {{g}^{\prime }}(t)$ luôn có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$
$\begin{aligned}
& \text{ (1) }\Rightarrow {{t}_{2}}=-2(m-1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 1\Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 2m-1 \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2m-1\ge 0 \\
5{{m}^{2}}-8m+4\le 4{{m}^{2}}-4m+1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2m-1\ge 0 \\
{{m}^{2}}-4m+3\le 0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge \dfrac{1}{2} \\
1\le m\le 3 \\
\end{array}\Leftrightarrow 1\le m\le 3. \right. \\
\end{aligned}$
Kết hơp (1) và (2) ta được $m\in \left[ 1;\dfrac{3+\sqrt{6}}{3} \right]\Rightarrow a=1;b=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $a+3b=4+\sqrt{6}$.
Xét hàm số $g(t)={{t}^{3}}+6(m-1){{t}^{2}}-3{{m}^{2}}t+4$ trên khoảng $(1;+\infty )$.
Ta có: ${{g}^{\prime }}(t)=3{{t}^{2}}+12(m-1)t-3{{m}^{2}}$ và $\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} g(t)=+\infty $
Hàm số $y=|g(t)|$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{g}^{\prime }}(t)\ge 0,\forall t\in [1;+\infty )(1) \\
g(1)\ge 0 \\
\end{array} \right.$
$+(2)\Rightarrow -3{{m}^{2}}+6m-1\ge 0\Rightarrow \dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\le m\le \dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$
$+{{\Delta }_{{{g}^{\prime }}}}=36{{(m-1)}^{2}}+9{{m}^{2}}>0,\forall m\to {{g}^{\prime }}(t)$ luôn có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$
$\begin{aligned}
& \text{ (1) }\Rightarrow {{t}_{2}}=-2(m-1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 1\Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 2m-1 \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2m-1\ge 0 \\
5{{m}^{2}}-8m+4\le 4{{m}^{2}}-4m+1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2m-1\ge 0 \\
{{m}^{2}}-4m+3\le 0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge \dfrac{1}{2} \\
1\le m\le 3 \\
\end{array}\Leftrightarrow 1\le m\le 3. \right. \\
\end{aligned}$
Kết hơp (1) và (2) ta được $m\in \left[ 1;\dfrac{3+\sqrt{6}}{3} \right]\Rightarrow a=1;b=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $a+3b=4+\sqrt{6}$.
Đáp án A.
