Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn $\ln x+\ln y\ge \ln...

Ta có $\ln x+\ln y\ge \ln ({{x}^{2}}+y)\Leftrightarrow \ln (xy)\ge \ln ({{x}^{2}}+y)$
$\Leftrightarrow xy\ge {{x}^{2}}+y\Leftrightarrow y(x-1)\ge {{x}^{2}}$
Mà x, y > 0 suy ra $y(x-1)\ge {{x}^{2}}>0\Rightarrow x-1>0\Leftrightarrow x>1$
Khi đó $y(x-1)\ge {{x}^{2}}\Leftrightarrow y\ge \dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ nên $x+y\ge x+\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=f(x)$
Xét hàm số f(x) trên $(1;+\infty )$, có $f'(x)=\dfrac{2{{x}^{2}}-4x+1}{{{(x-1)}^{2}}}$
Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& {{x}^{2}}-4x+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $\min f(x)=f\left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \right)=3+2\sqrt{2}$
Do $3+2\sqrt{2}=a+2\sqrt{b}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+2b={{3}^{2}}+2.2=13$
+ Công thức logarit cơ bản: ${{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}c={{\log }_{a}}(bc)$
+ So sánh logarit:
Cho b ≥ c ta có:
• Nếu 0 < a < 1 thì ${{\log }_{a}}b\le {{\log }_{a}}c$
• Nếu a > 1 thì ${{\log }_{a}}b\ge {{\log }_{a}}c$
+ Phương pháp dồn biến: Đánh giá biểu thức chứa đa biến theo biểu thức chứa duy nhất một biến.
+ Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
Bước 1: Tìm các điểm x1​, x2​,…, xn​ trên khoảng (a;b), tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 2: Tính $f(a),f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),...,f({{x}_{n}}),f(b)$
Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: $M=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}} f(x);m=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} f(x)$