Google
Câu hỏi: Cho x,y là các số thực thỏa mãn ${{(2x+y)}^{2}}{{.2}^{5{{x}^{2}}+2xy+2{{y}^{2}}-9}}+(x-y)2=9$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{x-1}{4x-y-9}$ bằng
A. $\dfrac{1}{6}$.
B. $\dfrac{1}{4}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
A. $\dfrac{1}{6}$.
B. $\dfrac{1}{4}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Ta có: ${{(2x+y)}^{2}}{{.2}^{5{{x}^{2}}+2xy+2{{y}^{2}}-9}}+(x-y)2=9\Leftrightarrow {{\left( 2x+y \right)}^{2}}{{.2}^{{{\left( 2x+y \right)}^{2}}}}=\left[ 9-\left( x-y \right) \right]{{.2}^{9-{{\left( x-y \right)}^{2}}}}$ $\left( * \right)$
Xét hàm đặc trưng $g\left( u \right)=u{{.2}^{u}}$ với $u>0$, ta có ${g}'\left( u \right)={{2}^{u}}+\dfrac{u{{.2}^{u}}}{\ln 2}>0\forall u>0$
Do đó $\left( * \right)$ xảy ra khi ${{\left( 2x+y \right)}^{2}}=9-{{\left( x-y \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( 2x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}=9$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+y=3\sin t \\
& x-y=3\cos t \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ P=\dfrac{\sin t+\cos t-1}{3\sin t+6\cos t-9} $, $ t\in R $ $ \left( 1 \right)$.
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 3P-1 \right)\sin t+\left( 6P-1 \right)ct=9P-1$ do $3\sin t+6\cos t-9\ne 0\forall t\in R$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm khi
${{\left( 3P-1 \right)}^{2}}+{{\left( 6P-1 \right)}^{2}}\ge {{\left( 9P-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 36{{P}^{2}}-1\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-1}{6}\le P\le \dfrac{1}{6}$
Suy ra giá trị lớn nhất của P là $\dfrac{1}{6}$.
Xét hàm đặc trưng $g\left( u \right)=u{{.2}^{u}}$ với $u>0$, ta có ${g}'\left( u \right)={{2}^{u}}+\dfrac{u{{.2}^{u}}}{\ln 2}>0\forall u>0$
Do đó $\left( * \right)$ xảy ra khi ${{\left( 2x+y \right)}^{2}}=9-{{\left( x-y \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( 2x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}=9$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+y=3\sin t \\
& x-y=3\cos t \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ P=\dfrac{\sin t+\cos t-1}{3\sin t+6\cos t-9} $, $ t\in R $ $ \left( 1 \right)$.
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 3P-1 \right)\sin t+\left( 6P-1 \right)ct=9P-1$ do $3\sin t+6\cos t-9\ne 0\forall t\in R$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm khi
${{\left( 3P-1 \right)}^{2}}+{{\left( 6P-1 \right)}^{2}}\ge {{\left( 9P-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 36{{P}^{2}}-1\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-1}{6}\le P\le \dfrac{1}{6}$
Suy ra giá trị lớn nhất của P là $\dfrac{1}{6}$.
Đáp án A.