Google
Câu hỏi: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{2019}}x+{{\log }_{2019}}y\ge {{\log }_{2019}}\left( {{x}^{2}}+y \right)$. Gọi ${{T}_{\min }}$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=2\text{x}+y$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${{T}_{\min }}\in (7;8)$
B. ${{T}_{\min }}\in (6;7)$
C. ${{T}_{\min }}\in (5;6)$
D. ${{T}_{\min }}\in (8;9)$
A. ${{T}_{\min }}\in (7;8)$
B. ${{T}_{\min }}\in (6;7)$
C. ${{T}_{\min }}\in (5;6)$
D. ${{T}_{\min }}\in (8;9)$
Ta có ${{\log }_{2019}}x+{{\log }_{2019}}y\ge {{\log }_{2019}}\left( {{x}^{2}}+y \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2019}}xy\ge {{\log }_{2019}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow xy\ge {{x}^{2}}+y\Leftrightarrow y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y\ge \dfrac{{{x}^{2}}}{x-1} \\
& x>1 \\
\end{aligned} \right.$.
Lúc đó $T=2\text{x}+y\ge 2\text{x}+\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=3\text{x}+1+\dfrac{1}{x-1}$. Xét hàm số $f(x)=3x+1+\dfrac{1}{x-1}$ với $x>1$.
Ta có ${f}'(x)=3-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Bảng biến thiên
Vậy ${{T}_{\min }}=4+2\sqrt{3}\in (7;8)$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{2019}}xy\ge {{\log }_{2019}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow xy\ge {{x}^{2}}+y\Leftrightarrow y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y\ge \dfrac{{{x}^{2}}}{x-1} \\
& x>1 \\
\end{aligned} \right.$.
Lúc đó $T=2\text{x}+y\ge 2\text{x}+\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=3\text{x}+1+\dfrac{1}{x-1}$. Xét hàm số $f(x)=3x+1+\dfrac{1}{x-1}$ với $x>1$.
Ta có ${f}'(x)=3-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Bảng biến thiên
Đáp án A.