Google
Câu hỏi: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $\ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)$. Khi $P=x+y$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị của $K=4x-2y$.
A. $K=1.$
B. $K=-\sqrt{2}.$
C. $K=3-2\sqrt{2}.$
D. $K=3+2\sqrt{2}.$
A. $K=1.$
B. $K=-\sqrt{2}.$
C. $K=3-2\sqrt{2}.$
D. $K=3+2\sqrt{2}.$
$\ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow \ln \left( xy \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow xy\ge {{x}^{2}}+y\Leftrightarrow \left( x-1 \right)y\ge {{x}^{2}}\left( 1 \right)$
Từ $\left( 1 \right)\Rightarrow x-1>0\Leftrightarrow x>1.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow y\ge \dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$
$P=x+y\ge x+\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=\dfrac{2{{x}^{2}}-x}{x-1}=g\left( x \right).$
Xét hàm $g\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-x}{x-1}$ với $x>1$.
Ta có ngay $P\ge g\left( x \right)\ge 3+2\sqrt{2},\forall x>1$.
$\Rightarrow \min P=3+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{4+3\sqrt{2}}{2}.$
Khi đó $K=4x-2y=-\sqrt{2}.$
Từ $\left( 1 \right)\Rightarrow x-1>0\Leftrightarrow x>1.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow y\ge \dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$
$P=x+y\ge x+\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=\dfrac{2{{x}^{2}}-x}{x-1}=g\left( x \right).$
Xét hàm $g\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-x}{x-1}$ với $x>1$.
Ta có ngay $P\ge g\left( x \right)\ge 3+2\sqrt{2},\forall x>1$.
$\Rightarrow \min P=3+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{4+3\sqrt{2}}{2}.$
Khi đó $K=4x-2y=-\sqrt{2}.$
Đáp án B.