Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $1$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $MC=2MB$ ; $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $AD$. Gọi $Q~$ là giao điểm của $AC$ và $\left( MNP \right)$. Thể tích khối đa diện $ABMNPQ$ bằng
A. $\dfrac{7\sqrt{2}}{216}$.
B. $\dfrac{13\sqrt{2}}{432}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{36}$.
D. $\dfrac{11\sqrt{2}}{432}$.
Gọi $E=MN\cap CD$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $BCD$
$\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{ND}{NB}.\dfrac{EC}{ED}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.\dfrac{EC}{ED}=1\Rightarrow \dfrac{EC}{ED}=2$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $EMC$
$\dfrac{DE}{DC}.\dfrac{NM}{NE}.\dfrac{BC}{BM}=1\Leftrightarrow 1.\dfrac{NM}{NE}.3=1\Leftrightarrow \dfrac{NM}{NE}=\dfrac{1}{3}$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $ACD$
$\dfrac{QA}{QC}.\dfrac{EC}{ED}.\dfrac{PD}{PA}=1\Leftrightarrow \dfrac{QA}{QC}.2.1=1\Leftrightarrow \dfrac{QA}{QC}=\dfrac{1}{2}$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $EQC$
$\dfrac{DE}{DC}.\dfrac{PQ}{PE}.\dfrac{AC}{AQ}=1\Leftrightarrow 1.\dfrac{PQ}{PE}.3=1\Leftrightarrow \dfrac{PQ}{PE}=\dfrac{1}{3}$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{E.NPD}}}{{{V}_{E.QMC}}}=\dfrac{EP}{EQ}.\dfrac{ED}{EC}.\dfrac{EN}{EM}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{32}$.
$\Rightarrow {{V}_{E.NPD}}=\dfrac{9}{32}{{V}_{E.QMC}}\Rightarrow {{V}_{MCDNPQ}}=\dfrac{23}{32}{{V}_{E.QMC}}$.
Lại có $\dfrac{{{V}_{E.QMC}}}{{{V}_{D.ABC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( E,\left( ABC \right) \right).{{S}_{CMQ}}}{\dfrac{1}{3}d\left( D,\left( ABC \right) \right).{{S}_{CAB}}}=2.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{9}\Rightarrow {{V}_{E.CMQ}}=\dfrac{8}{9}{{V}_{D.ABC}}$.
Suy ra ${{V}_{MCDNPQ}}=\dfrac{23}{32}.\dfrac{8}{9}{{V}_{D.ABC}}=\dfrac{23}{36}{{V}_{D.ABC}}\Rightarrow {{V}_{ABMNPQ}}=\dfrac{13}{36}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{13}{36}.\dfrac{\sqrt{2}}{12}=\dfrac{13\sqrt{2}}{432}$.
A. $\dfrac{7\sqrt{2}}{216}$.
B. $\dfrac{13\sqrt{2}}{432}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{36}$.
D. $\dfrac{11\sqrt{2}}{432}$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $BCD$
$\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{ND}{NB}.\dfrac{EC}{ED}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.\dfrac{EC}{ED}=1\Rightarrow \dfrac{EC}{ED}=2$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $EMC$
$\dfrac{DE}{DC}.\dfrac{NM}{NE}.\dfrac{BC}{BM}=1\Leftrightarrow 1.\dfrac{NM}{NE}.3=1\Leftrightarrow \dfrac{NM}{NE}=\dfrac{1}{3}$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $ACD$
$\dfrac{QA}{QC}.\dfrac{EC}{ED}.\dfrac{PD}{PA}=1\Leftrightarrow \dfrac{QA}{QC}.2.1=1\Leftrightarrow \dfrac{QA}{QC}=\dfrac{1}{2}$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $EQC$
$\dfrac{DE}{DC}.\dfrac{PQ}{PE}.\dfrac{AC}{AQ}=1\Leftrightarrow 1.\dfrac{PQ}{PE}.3=1\Leftrightarrow \dfrac{PQ}{PE}=\dfrac{1}{3}$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{E.NPD}}}{{{V}_{E.QMC}}}=\dfrac{EP}{EQ}.\dfrac{ED}{EC}.\dfrac{EN}{EM}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{32}$.
$\Rightarrow {{V}_{E.NPD}}=\dfrac{9}{32}{{V}_{E.QMC}}\Rightarrow {{V}_{MCDNPQ}}=\dfrac{23}{32}{{V}_{E.QMC}}$.
Lại có $\dfrac{{{V}_{E.QMC}}}{{{V}_{D.ABC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( E,\left( ABC \right) \right).{{S}_{CMQ}}}{\dfrac{1}{3}d\left( D,\left( ABC \right) \right).{{S}_{CAB}}}=2.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{9}\Rightarrow {{V}_{E.CMQ}}=\dfrac{8}{9}{{V}_{D.ABC}}$.
Suy ra ${{V}_{MCDNPQ}}=\dfrac{23}{32}.\dfrac{8}{9}{{V}_{D.ABC}}=\dfrac{23}{36}{{V}_{D.ABC}}\Rightarrow {{V}_{ABMNPQ}}=\dfrac{13}{36}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{13}{36}.\dfrac{\sqrt{2}}{12}=\dfrac{13\sqrt{2}}{432}$.
Đáp án B.