Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng $(DMN)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Đặt $AM=x,AN=y$. Tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
A. $x=y=\dfrac{2}{3}$
B. $x=y=\dfrac{1}{3}$
C. $x=y=\dfrac{7}{4}$
D. $x=\dfrac{1}{2};y=\dfrac{2}{3}$
+ Ta có ${{S}_{\Delta AMN}}={{S}_{\Delta AHM}}+{{S}_{\Delta AHN}}\Leftrightarrow xy=\dfrac{x+y}{3}(0\le x\le 1)$
+ Theo bất đẳng thức Cô-si $3\text{x}y=x+y\ge 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\ge \dfrac{4}{9}$
+ Ta có ${{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{2}AN.AM.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}xy}{4}$
${{S}_{\Delta AM\text{D}}}=\dfrac{1}{2}A\text{D}.AM.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}x}{4}$
${{S}_{\Delta AN\text{D}}}=\dfrac{1}{2}A\text{D}.AN.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}y}{4}$
+ Ta có $DH=\sqrt{A{{\text{D}}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ; $M{{N}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\sqrt{{{(x+y)}^{2}}-3\text{x}y}$
Vậy ${{S}_{tp}}=\dfrac{\sqrt{3}xy}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}(x+y)+\sqrt{\dfrac{1}{6}}\sqrt{{{(x+y)}^{2}}-3\text{x}y}=\sqrt{3}xy+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3{{(xy)}^{2}}-3\text{x}y}$
Đặt $1\ge t=xy\ge \dfrac{4}{9}$, ta thu được giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần đạt được khi $t=xy=\dfrac{4}{9}$, tức là $x=y=\dfrac{2}{3}$.
A. $x=y=\dfrac{2}{3}$
B. $x=y=\dfrac{1}{3}$
C. $x=y=\dfrac{7}{4}$
D. $x=\dfrac{1}{2};y=\dfrac{2}{3}$
+ Ta có ${{S}_{\Delta AMN}}={{S}_{\Delta AHM}}+{{S}_{\Delta AHN}}\Leftrightarrow xy=\dfrac{x+y}{3}(0\le x\le 1)$
+ Theo bất đẳng thức Cô-si $3\text{x}y=x+y\ge 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\ge \dfrac{4}{9}$
+ Ta có ${{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{2}AN.AM.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}xy}{4}$
${{S}_{\Delta AM\text{D}}}=\dfrac{1}{2}A\text{D}.AM.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}x}{4}$
${{S}_{\Delta AN\text{D}}}=\dfrac{1}{2}A\text{D}.AN.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}y}{4}$
+ Ta có $DH=\sqrt{A{{\text{D}}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ; $M{{N}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\sqrt{{{(x+y)}^{2}}-3\text{x}y}$
Vậy ${{S}_{tp}}=\dfrac{\sqrt{3}xy}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}(x+y)+\sqrt{\dfrac{1}{6}}\sqrt{{{(x+y)}^{2}}-3\text{x}y}=\sqrt{3}xy+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3{{(xy)}^{2}}-3\text{x}y}$
Đặt $1\ge t=xy\ge \dfrac{4}{9}$, ta thu được giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần đạt được khi $t=xy=\dfrac{4}{9}$, tức là $x=y=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án A.