Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC,AD$ và điểm $O$ tùy ý trên mặt phẳng $\left( BCD \right)$. Thể tích tứ diện $OMNP$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{36}$.
$\vartriangle MNP$ đồng dạng với $\vartriangle BCD$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{BCD}}}={{k}^{2}}=\dfrac{1}{4}$.
Ta có $\left( MNP \right)\text{//}\left( BCD \right)$ $\Rightarrow d\left( O;\left( MNP \right) \right)=d\left( B;\left( MNP \right) \right)$
Lại có: $BA$ cắt $\left( MNP \right)$ tại $M$ nên $\dfrac{d\left( B;\left( MNP \right) \right)}{d\left( A;\left( MNP \right) \right)}=\dfrac{MB}{MA}=1$ $\Rightarrow d\left( O;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( MNP \right) \right)$
${{V}_{OMNP}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{8}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{36}$.
Ta có $\left( MNP \right)\text{//}\left( BCD \right)$ $\Rightarrow d\left( O;\left( MNP \right) \right)=d\left( B;\left( MNP \right) \right)$
Lại có: $BA$ cắt $\left( MNP \right)$ tại $M$ nên $\dfrac{d\left( B;\left( MNP \right) \right)}{d\left( A;\left( MNP \right) \right)}=\dfrac{MB}{MA}=1$ $\Rightarrow d\left( O;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( MNP \right) \right)$
${{V}_{OMNP}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{8}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}$.
Đáp án A.