Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung...

Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}$
Gọi $P=EN\cap CD$ và $Q=EM\cap AD$
$\Rightarrow$ P, Q lần lượt là trọng tâm của $\mathrm{\Delta }BCE$ và $\mathrm{\Delta }ABE$. Gọi S là diện tích tam giác $BCD\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }CDE}=S_{\mathrm{\Delta }BNE}=S$.
Ta co $S_{\mathrm{\Delta }PDE}={\displaystyle \frac{1}{3}}.S_{\mathrm{\Delta }CDE}={\displaystyle \frac{S}{3}}$
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, suy ra
$d[M;\left(BCD\right)]={\displaystyle \frac{h}{2}}$ ; $d[Q;\left(BCD\right)]={\displaystyle \frac{h}{3}}$
Khi đó $V_{M.BNE}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{\mathrm{\Delta }BNE}.d(M;\left(BCD\right))={\displaystyle \frac{S.h}{6}}$ ;
Và $V_{Q.PDE}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{\mathrm{\Delta }PDE}.d(Q;\left(BCD\right))={\displaystyle \frac{S.h}{27}}$.
Suy ra $V_{PQD.NMB}=V_{M.BNE}-V_{Q.PDE}={\displaystyle \frac{S.h}{6}}-{\displaystyle \frac{S.h}{27}}={\displaystyle \frac{7S.h}{54}}={\displaystyle \frac{7}{18}}.{\displaystyle \frac{S.h}{3}}={\displaystyle \frac{7}{18}}.V_{ABCD}$.
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là $V=V_{ABCD}-V_{PQD.NMB}={\displaystyle \frac{11}{8}}.{\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}={\displaystyle \frac{11\sqrt{2}{a}^3}{216}}$.