Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng $\left( MNE \right)$ chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V. Tính V.
A. $\dfrac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$
B. $\dfrac{7\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{18}$
D. $\dfrac{13\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$
Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Gọi $P=EN\cap CD$ và $Q=EM\cap AD$
$\Rightarrow $ P, Q lần lượt là trọng tâm của $\Delta BCE$ và $\Delta ABE$. Gọi S là diện tích tam giác $BCD\Rightarrow {{S}_{\Delta CDE}}={{S}_{\Delta BNE}}=S$.
Ta co ${{S}_{\Delta PDE}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta CDE}}=\dfrac{S}{3}$
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, suy ra
$d\left[ M;\left( BCD \right) \right]=\dfrac{h}{2}$ ; $d\left[ Q;\left( BCD \right) \right]=\dfrac{h}{3}$
Khi đó ${{V}_{M.BNE}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta BNE}}.d\left( M;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{S.h}{6}$ ;
Và ${{V}_{Q.PDE}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta PDE}}.d\left( Q;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{S.h}{27}$.
Suy ra ${{V}_{PQD.NMB}}={{V}_{M.BNE}}-{{V}_{Q.PDE}}=\dfrac{S.h}{6}-\dfrac{S.h}{27}=\dfrac{7S.h}{54}=\dfrac{7}{18}.\dfrac{S.h}{3}=\dfrac{7}{18}.{{V}_{ABCD}}$.
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là $V={{V}_{ABCD}}-{{V}_{PQD.NMB}}=\dfrac{11}{8}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
A. $\dfrac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$
B. $\dfrac{7\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{18}$
D. $\dfrac{13\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$
Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Gọi $P=EN\cap CD$ và $Q=EM\cap AD$
$\Rightarrow $ P, Q lần lượt là trọng tâm của $\Delta BCE$ và $\Delta ABE$. Gọi S là diện tích tam giác $BCD\Rightarrow {{S}_{\Delta CDE}}={{S}_{\Delta BNE}}=S$.
Ta co ${{S}_{\Delta PDE}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta CDE}}=\dfrac{S}{3}$
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, suy ra
$d\left[ M;\left( BCD \right) \right]=\dfrac{h}{2}$ ; $d\left[ Q;\left( BCD \right) \right]=\dfrac{h}{3}$
Khi đó ${{V}_{M.BNE}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta BNE}}.d\left( M;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{S.h}{6}$ ;
Và ${{V}_{Q.PDE}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta PDE}}.d\left( Q;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{S.h}{27}$.
Suy ra ${{V}_{PQD.NMB}}={{V}_{M.BNE}}-{{V}_{Q.PDE}}=\dfrac{S.h}{6}-\dfrac{S.h}{27}=\dfrac{7S.h}{54}=\dfrac{7}{18}.\dfrac{S.h}{3}=\dfrac{7}{18}.{{V}_{ABCD}}$.
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là $V={{V}_{ABCD}}-{{V}_{PQD.NMB}}=\dfrac{11}{8}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$.
Đáp án A.