Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho $BC=4BM$, $AC=3\text{A}P$, $B\text{D}=2BN$. Tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng $\left( MNP \right)$ bằng
A. $\dfrac{7}{13}$
B. $\dfrac{7}{15}$
C. $\dfrac{8}{15}$
D. $\dfrac{8}{13}$
Trong mặt phẳng (DBC) vẽ MN cắt CD tại K. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ PK cắt AD tại Q. Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\Delta BC\text{D}$ cát tuyến MNK ta có $\dfrac{KC}{K\text{D}}.\dfrac{N\text{D}}{NB}.\dfrac{MB}{MC}=1\Rightarrow \dfrac{KC}{K\text{D}}=3$.
Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\Delta AC\text{D}$ cát tuyến PKQ ta có $\dfrac{KC}{K\text{D}}.\dfrac{\text{QD}}{QA}.\dfrac{PA}{PC}=1$
$\Rightarrow \dfrac{QA}{Q\text{D}}=\dfrac{3}{2}$ $\Rightarrow \dfrac{QA}{A\text{D}}=\dfrac{3}{5}$
Đặt $V={{V}_{ABC\text{D}}}$, ta có
$\dfrac{{{V}_{B.APQ}}}{{{V}_{B.AC\text{D}}}}=\dfrac{{{S}_{APQ}}}{{{S}_{AC\text{D}}}}=\dfrac{AP}{AC}.\dfrac{AQ}{A\text{D}}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{V}_{B.APQ}}=\dfrac{1}{5}{{V}_{B.AC\text{D}}}$
$\Rightarrow {{V}_{B.PQ\text{D}C}}=\dfrac{4}{5}V$.
$\dfrac{{{V}_{P.BMN}}}{{{V}_{P.BC\text{D}}}}=\dfrac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{BC\text{D}}}}=\dfrac{BM}{BC}.\dfrac{BN}{B\text{D}}=\dfrac{1}{8}$ và $\dfrac{{{V}_{P.BC\text{D}}}}{V}=\dfrac{{{S}_{CP\text{D}}}}{V}=\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{P.BMN}}=\dfrac{1}{2}V$.
$\dfrac{{{V}_{Q.PBN}}}{{{V}_{Q.PB\text{D}}}}=\dfrac{{{S}_{PBN}}}{{{S}_{PB\text{D}}}}=\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{{{V}_{BQP\text{D}}}}{V}=\dfrac{{{S}_{DQP}}}{{{S}_{AC\text{D}}}}=\dfrac{{{S}_{DQP}}}{{{S}_{DAP}}}.\dfrac{{{S}_{DAP}}}{{{S}_{AC\text{D}}}}=\dfrac{2}{15}\Rightarrow {{V}_{QPBN}}=\dfrac{1}{15}V$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AB.MNPQ}}}{V}=\dfrac{{{V}_{A.BPQ}}+{{V}_{P.BNM}}+{{V}_{Q.PBN}}}{V}=\dfrac{7}{20}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AB.MNPQ}}}{{{V}_{C\text{D}.MNPQ}}}=\dfrac{7}{13}$.
A. $\dfrac{7}{13}$
B. $\dfrac{7}{15}$
C. $\dfrac{8}{15}$
D. $\dfrac{8}{13}$
Trong mặt phẳng (DBC) vẽ MN cắt CD tại K. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ PK cắt AD tại Q. Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\Delta BC\text{D}$ cát tuyến MNK ta có $\dfrac{KC}{K\text{D}}.\dfrac{N\text{D}}{NB}.\dfrac{MB}{MC}=1\Rightarrow \dfrac{KC}{K\text{D}}=3$.
Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\Delta AC\text{D}$ cát tuyến PKQ ta có $\dfrac{KC}{K\text{D}}.\dfrac{\text{QD}}{QA}.\dfrac{PA}{PC}=1$
$\Rightarrow \dfrac{QA}{Q\text{D}}=\dfrac{3}{2}$ $\Rightarrow \dfrac{QA}{A\text{D}}=\dfrac{3}{5}$
Đặt $V={{V}_{ABC\text{D}}}$, ta có
$\dfrac{{{V}_{B.APQ}}}{{{V}_{B.AC\text{D}}}}=\dfrac{{{S}_{APQ}}}{{{S}_{AC\text{D}}}}=\dfrac{AP}{AC}.\dfrac{AQ}{A\text{D}}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{V}_{B.APQ}}=\dfrac{1}{5}{{V}_{B.AC\text{D}}}$
$\Rightarrow {{V}_{B.PQ\text{D}C}}=\dfrac{4}{5}V$.
$\dfrac{{{V}_{P.BMN}}}{{{V}_{P.BC\text{D}}}}=\dfrac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{BC\text{D}}}}=\dfrac{BM}{BC}.\dfrac{BN}{B\text{D}}=\dfrac{1}{8}$ và $\dfrac{{{V}_{P.BC\text{D}}}}{V}=\dfrac{{{S}_{CP\text{D}}}}{V}=\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{P.BMN}}=\dfrac{1}{2}V$.
$\dfrac{{{V}_{Q.PBN}}}{{{V}_{Q.PB\text{D}}}}=\dfrac{{{S}_{PBN}}}{{{S}_{PB\text{D}}}}=\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{{{V}_{BQP\text{D}}}}{V}=\dfrac{{{S}_{DQP}}}{{{S}_{AC\text{D}}}}=\dfrac{{{S}_{DQP}}}{{{S}_{DAP}}}.\dfrac{{{S}_{DAP}}}{{{S}_{AC\text{D}}}}=\dfrac{2}{15}\Rightarrow {{V}_{QPBN}}=\dfrac{1}{15}V$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AB.MNPQ}}}{V}=\dfrac{{{V}_{A.BPQ}}+{{V}_{P.BNM}}+{{V}_{Q.PBN}}}{V}=\dfrac{7}{20}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AB.MNPQ}}}{{{V}_{C\text{D}.MNPQ}}}=\dfrac{7}{13}$.
Đáp án A.