Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $AD=6,\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB}=60{}^\circ .$ Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC)?
A. $2\sqrt{6}.$
B. $2\sqrt{3}.$
C. $3\sqrt{3}.$
D. $2\sqrt{2}.$
Gọi H là hình chiếu của D xuống mặt phẳng (ABC) $\Rightarrow DH=d\left( d,\left( ABC \right) \right).$
Hạ $HM\bot AB,HN\bot AC.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot HM \\
& AB\bot DH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( DHM \right)\Rightarrow AB\bot DM.$
Tương tự ta cũng có $AC\bot DN.$
Dễ thấy $\Delta AMD=\Delta AND\left( g-c-g \right)$
$\Rightarrow DM=DN\Rightarrow \Delta DHM=\Delta DHN$
$\Rightarrow HM=HN\Rightarrow \Delta AHM=\Delta AHN\Rightarrow \widehat{HAM}=\widehat{HAN}$
Suy ra AH là đường phân giác trong góc $A\Rightarrow \widehat{HAM}=30{}^\circ .$
Ta có $AM=AD.c\text{os} \text{60}{}^\circ \text{=3;}$ $AH=\dfrac{AM}{\cos 30{}^\circ }=2\sqrt{3}.$
Vậy $DH=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{H}^{2}}}=2\sqrt{6}.$
A. $2\sqrt{6}.$
B. $2\sqrt{3}.$
C. $3\sqrt{3}.$
D. $2\sqrt{2}.$
Gọi H là hình chiếu của D xuống mặt phẳng (ABC) $\Rightarrow DH=d\left( d,\left( ABC \right) \right).$
Hạ $HM\bot AB,HN\bot AC.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot HM \\
& AB\bot DH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( DHM \right)\Rightarrow AB\bot DM.$
Tương tự ta cũng có $AC\bot DN.$
Dễ thấy $\Delta AMD=\Delta AND\left( g-c-g \right)$
$\Rightarrow DM=DN\Rightarrow \Delta DHM=\Delta DHN$
$\Rightarrow HM=HN\Rightarrow \Delta AHM=\Delta AHN\Rightarrow \widehat{HAM}=\widehat{HAN}$
Suy ra AH là đường phân giác trong góc $A\Rightarrow \widehat{HAM}=30{}^\circ .$
Ta có $AM=AD.c\text{os} \text{60}{}^\circ \text{=3;}$ $AH=\dfrac{AM}{\cos 30{}^\circ }=2\sqrt{3}.$
Vậy $DH=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{H}^{2}}}=2\sqrt{6}.$
Đáp án A.