Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=3,AD=BC=5,AC=BD=6$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. $35\pi .$
B. 35.
C. $\dfrac{35\sqrt{35}}{6}\pi .$
D. $35\sqrt{35}\pi .$
Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, CD và MN.
Ta có $\Delta ACD=\Delta BCD\Rightarrow AN=BN\Rightarrow \Delta ABN$ cân tại N, mà AM là đường trung tuyến $\Rightarrow $ AM là đường trung trực của AB $\Rightarrow IA=IB=\dfrac{MN}{2}\left( 1 \right).$
Chứng minh tương tự ta có $\Rightarrow IC=ID=\dfrac{MN}{2}\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Áp dụng công thức trung tuyến cho tam giác ACD ta có $A{{N}^{2}}=\dfrac{36+25}{2}-\dfrac{9}{4}=\dfrac{113}{4}.$
Xét tam giác vuông AMI có: $A{{I}^{2}}=A{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}=A{{M}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}=A{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}$
$=A{{N}^{2}}-\dfrac{3M{{N}^{2}}}{4}=A{{N}^{2}}-\dfrac{3}{4}\left( A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}} \right)=\dfrac{1}{4}\left( A{{N}^{2}}+3A{{M}^{2}} \right)=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{113}{4}+3.\dfrac{9}{4} \right)=\dfrac{35}{4}.$
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $R=AI=\dfrac{\sqrt{35}}{2}.$
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{35\sqrt{35}}{6}\pi .$
A. $35\pi .$
B. 35.
C. $\dfrac{35\sqrt{35}}{6}\pi .$
D. $35\sqrt{35}\pi .$
Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, CD và MN.
Ta có $\Delta ACD=\Delta BCD\Rightarrow AN=BN\Rightarrow \Delta ABN$ cân tại N, mà AM là đường trung tuyến $\Rightarrow $ AM là đường trung trực của AB $\Rightarrow IA=IB=\dfrac{MN}{2}\left( 1 \right).$
Chứng minh tương tự ta có $\Rightarrow IC=ID=\dfrac{MN}{2}\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Áp dụng công thức trung tuyến cho tam giác ACD ta có $A{{N}^{2}}=\dfrac{36+25}{2}-\dfrac{9}{4}=\dfrac{113}{4}.$
Xét tam giác vuông AMI có: $A{{I}^{2}}=A{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}=A{{M}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}=A{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}$
$=A{{N}^{2}}-\dfrac{3M{{N}^{2}}}{4}=A{{N}^{2}}-\dfrac{3}{4}\left( A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}} \right)=\dfrac{1}{4}\left( A{{N}^{2}}+3A{{M}^{2}} \right)=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{113}{4}+3.\dfrac{9}{4} \right)=\dfrac{35}{4}.$
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $R=AI=\dfrac{\sqrt{35}}{2}.$
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{35\sqrt{35}}{6}\pi .$
Đáp án C.