Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=a$, $AC=a\sqrt{2}$, $AD=a\sqrt{3}$. Các...

Cách 1:

+) Ta có các tam giác $ABC$, $ACD$, $ABD$ là các tam giác vuông tại đỉnh $A$ nên $AB \bot AC$, $AD\bot AC$, $AB\bot AD$ hay $ABCD$ là tứ diện vuông đỉnh $A$.
+) Do đó $\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}$ $=\dfrac{11}{6{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow d=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$.
Cách 2:
+) Do $AB \bot \left( ACD \right)$ nên ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ACD}}.AB$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.a\sqrt{3}.a$ $=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
+) $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}$ ; $CD=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{5}$ ; $BD=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2a$.
+) Đặt $p=\dfrac{BC+CD+BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}+a\sqrt{5}+2a}{2}$.
+) Lúc đó: ${{S}_{\Delta BCD}}=\sqrt{p\left( p-BC \right)\left( p-CD \right)\left( p-BD \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{2}$.
+) Mà ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.d\left( A,\left( BCD \right) \right).{{S}_{\Delta BCD}}\Rightarrow d\left( A,\left( BCD \right) \right)=\dfrac{3.{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}=\dfrac{3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$.
Vậy $d=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$.
Cách 3:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có $A\left( 0;0;0 \right)$, $B\left( 0;0;a \right)$, $C\left( a\sqrt{2};0;0 \right)$, $D\left( 0;a\sqrt{3};0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( BCD \right):\dfrac{x}{a\sqrt{2}}+\dfrac{y}{a\sqrt{3}}+\dfrac{z}{a}=1\Leftrightarrow \sqrt{3}x+\sqrt{2}y+\sqrt{6}z-a\sqrt{6}=0$.
Suy ra $d\left( A,\left( BCD \right) \right)=\dfrac{\left| -a\sqrt{6} \right|}{\sqrt{3+2+6}}=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$.