Cho tứ diện ABCD có $A B = a, A C = a \sqrt{2}, A D = a \sqrt{3}$ , các...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có

A B = a, A C = a \sqrt{2}, A D = a \sqrt{3}

, các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A. Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng

(B C D)

là
A.

d = \frac{a \sqrt{66}}{11}

B.

d = \frac{a \sqrt{6}}{3}

C.

d = \frac{a \sqrt{30}}{5}

D.

d = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Vì các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A nên

A B ⊥ A C, A C ⊥ A D, A D ⊥ A B

hay AB, AC, AD đôi một vuông góc nên khoảng cách từ A đến

(B C D)

là d thì

\frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} \Rightarrow d = \frac{a \sqrt{66}}{11}

.

Chú ý: Ta có thể chứng minh công thức khoảng cách

\frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}

như sau:
Vì

A B ⊥ A C, A C ⊥ A D, A D ⊥ A B

nên

A D ⊥ (A B C) \Rightarrow A D ⊥ B C

Trong

Δ A B C

kẻ

A H ⊥ B C

, lại có

A D ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (A K D)

Trong

(A K D)

kẻ

A H ⊥ D K

mà

A H ⊥ B C

(do

B C ⊥ (A D K)

)

\Rightarrow A H ⊥ (B C D)

Suy ra

d (A, (B C D)) = A H

.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC và ADK có

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} + \frac{1}{A B^{2}}

hay

\frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}

.

Đáp án A.

Cho tứ diện ABCD có AB=a,AC=a2,AD=a3, các...