Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có $AB=a,AC=a\sqrt{2},A\text{D}=a\sqrt{3}$, các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A. Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng $\left( BC\text{D} \right)$ là
A. $d=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$
B. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
D. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vì các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A nên $AB\bot AC,AC\bot A\text{D},A\text{D}\bot AB$ hay AB, AC, AD đôi một vuông góc nên khoảng cách từ A đến $\left( BC\text{D} \right)$ là d thì
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{\text{D}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{\text{a}}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{\text{a}}^{2}}}\Rightarrow d=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$.
A. $d=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$
B. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
D. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vì các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A nên $AB\bot AC,AC\bot A\text{D},A\text{D}\bot AB$ hay AB, AC, AD đôi một vuông góc nên khoảng cách từ A đến $\left( BC\text{D} \right)$ là d thì
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{\text{D}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{\text{a}}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{\text{a}}^{2}}}\Rightarrow d=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$.
| Chú ý: Ta có thể chứng minh công thức khoảng cách $\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{\text{D}}^{2}}}$ như sau: Vì $AB\bot AC,AC\bot A\text{D},A\text{D}\bot AB$ nên $A\text{D}\bot \left( ABC \right)\Rightarrow A\text{D}\bot BC$ Trong $\Delta ABC$ kẻ $AH\bot BC$, lại có $A\text{D}\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( AK\text{D} \right)$ Trong $\left( AK\text{D} \right)$ kẻ $AH\bot DK$ mà $AH\bot BC$ (do $BC\bot \left( A\text{D}K \right)$ ) $\Rightarrow AH\bot \left( BC\text{D} \right)$ Suy ra $d\left( A,(BC\text{D}) \right)=AH$. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC và ADK có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{\text{D}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{\text{D}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$ hay $\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{\text{D}}^{2}}}$. |
Đáp án A.