Cho tứ diện ABCD có AB = 6a, CD = 8a và các cạnh còn lại bằng...

Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD. Coi a = 1, từ giả thiết ta có
$AC=AD=BC=BD=\sqrt{74}$ nên $AF\bot CD,BF\bot CD$
$\Rightarrow \left( ABF \right)\bot CD\Rightarrow EF\bot CD.$ Chứng minh tương tự $EF\bot AB.$
Khi đó EF là đường trung trực của CD và AB. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta có $IA=IB=IC=ID=R$ nên I thuộc đoạn thẳng EF.
$EF=\sqrt{A{{F}^{2}}-A{{E}^{2}}}=\sqrt{A{{D}^{2}}-D{{F}^{2}}-A{{E}^{2}}}=\sqrt{74-16-9}=7.$
Đặt $EI=x\Rightarrow FI=7-x$ (với $0<x<7$ )
$\left\{ \begin{aligned}
& IA=\sqrt{E{{A}^{2}}+E{{I}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+9} \\
& ID=\sqrt{F{{I}^{2}}+F{{D}^{2}}}=\sqrt{16+{{\left( 7-x \right)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-14x+65}. \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $IA=ID\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+9}=\sqrt{{{x}^{2}}-14x+65}\Leftrightarrow 9=-14x+65\Leftrightarrow x=4$
Khi đó $IA=\sqrt{{{x}^{2}}+9}=5.$ Do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là $R=5a.$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .25{{a}^{2}}=100\pi {{a}^{2}}.$