Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có $AB=6,\ CD=8$ và các cạnh còn lại đều bằng $\sqrt{74}$. Mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có bán kính bằng:
A. $\dfrac{7}{2}.$
B. 5.
C. 7.
D. 25.
A. $\dfrac{7}{2}.$
B. 5.
C. 7.
D. 25.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Do ADC, BDC là những tam giác cân có chung đáy CD và các cạnh bên bằng nhau (vì cùng bằng $\sqrt{74}$ ) nên $AF=BF$. Suy ra $EF\bot AB$.
Tương tự, ta cũng có $EF\bot CD$. Như vậy, EF là đường trung trực của cả AB và CD. Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc đường thẳng EF.
Ta có $E{{F}^{2}}=A{{F}^{2}}-A{{E}^{2}}=A{{D}^{2}}-D{{F}^{2}}-A{{E}^{2}}=74-16-9=49$ nên $EF=7$.
Gọi R là bán kính của mặt cầu thì $IE=\sqrt{I{{A}^{2}}-E{{A}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-9}$ và $IF=\sqrt{I{{C}^{2}}-C{{F}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-16}$.
Nếu I nằm trong tứ diện ABCD thì I thuộc đoạn EF. Khi đó $IE+IF=EF$ hay $\sqrt{{{R}^{2}}-9}+\sqrt{{{R}^{2}}-16}=7.$
Dễ dàng giải được $R=5.$
Nếu I nằm ngoài tứ diện ABCD thì I nằm ngoài đoạn EF.
Do đó $\sqrt{{{R}^{2}}-9}+\sqrt{{{R}^{2}}-16}=7.$ Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 5.
Do ADC, BDC là những tam giác cân có chung đáy CD và các cạnh bên bằng nhau (vì cùng bằng $\sqrt{74}$ ) nên $AF=BF$. Suy ra $EF\bot AB$.
Tương tự, ta cũng có $EF\bot CD$. Như vậy, EF là đường trung trực của cả AB và CD. Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc đường thẳng EF.
Ta có $E{{F}^{2}}=A{{F}^{2}}-A{{E}^{2}}=A{{D}^{2}}-D{{F}^{2}}-A{{E}^{2}}=74-16-9=49$ nên $EF=7$.
Gọi R là bán kính của mặt cầu thì $IE=\sqrt{I{{A}^{2}}-E{{A}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-9}$ và $IF=\sqrt{I{{C}^{2}}-C{{F}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-16}$.
Nếu I nằm trong tứ diện ABCD thì I thuộc đoạn EF. Khi đó $IE+IF=EF$ hay $\sqrt{{{R}^{2}}-9}+\sqrt{{{R}^{2}}-16}=7.$
Dễ dàng giải được $R=5.$
Nếu I nằm ngoài tứ diện ABCD thì I nằm ngoài đoạn EF.
Do đó $\sqrt{{{R}^{2}}-9}+\sqrt{{{R}^{2}}-16}=7.$ Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 5.
Đáp án B.