Google
Câu hỏi: Cho tích phân ${I=\int\limits_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{\sqrt{1+\ln x}}{x} \mathrm{ d} x}$. Đổi biến ${t=\sqrt{1+\ln x}}$ ta được kết quả nào sau đây?
A. ${I= 2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}} t^2 \mathrm{ d} t}$.
B. ${I= 2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}} t \mathrm{ d} t}$.
C. ${I=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}} t^2 \mathrm{ d} t}$.
D. ${I= 2\int\limits_{1}^2 t^2 \mathrm{ d} t}$.
Với ${x=1\Rightarrow t=1}$, ${x=\mathrm{e}\Rightarrow t=\sqrt{2}}$.
Như vậy
${I=\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\mathrm{ d} x=\int\limits_1^{\sqrt{2}} 2t^2\mathrm{ d}t=2\int\limits_1^{\sqrt{2}}t^2\mathrm{ d}t.}$
A. ${I= 2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}} t^2 \mathrm{ d} t}$.
B. ${I= 2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}} t \mathrm{ d} t}$.
C. ${I=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}} t^2 \mathrm{ d} t}$.
D. ${I= 2\int\limits_{1}^2 t^2 \mathrm{ d} t}$.
Thực hiện đổi biến ${t=\sqrt{1+\ln x}\Rightarrow t^2=1+\ln x\Rightarrow 2t\mathrm{ d}t=\dfrac{1}{x}\mathrm{ d}x}$.Với ${x=1\Rightarrow t=1}$, ${x=\mathrm{e}\Rightarrow t=\sqrt{2}}$.
Như vậy
${I=\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\mathrm{ d} x=\int\limits_1^{\sqrt{2}} 2t^2\mathrm{ d}t=2\int\limits_1^{\sqrt{2}}t^2\mathrm{ d}t.}$
Đáp án A.