Cho tham số $m\in \mathbb{R}$, khi bất phương trình...

Ta có: $6^{\sqrt{x}}+2^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}}+m^2-8\le 0\left(1\right)$. Điều kiện: $x>0$. Đặt $t=\sqrt{x}$, điều kiện: $t>0$.
Bất phương trình trên thành: $6^t+2^{{\displaystyle \frac{1}{t}}}-8<-m^2\left(2\right)$.
Xét hàm số $f\left(t\right)=6^t+2^{{\displaystyle \frac{1}{t}}}-8$ liên tục trên $(0;+\mathrm{\infty })$ có $f^{\prime }\left(t\right)=6^t\ln 6-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}{2}^{{\displaystyle \frac{1}{t}}}\ln 2$.
$f^{″}\left(t\right)=6^t{\ln }^{2}6+{\displaystyle \frac{\ln 2+2t}{t^4}}{2}^{{\displaystyle \frac{1}{t}}}\ln 2>0\mathrm{\forall }t\in (0;+\mathrm{\infty })$ nên $f^{\prime }\left(t\right)$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$.
Ta lại có $\underset{t\to 0^{+}}{lim}{f}^{\prime }\left(t\right)=-\mathrm{\infty }$ và $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }\left(t\right)=+\mathrm{\infty }$.
Suy ra có đúng một $t_0\in (0;+\mathrm{\infty })$ sao cho $f^{\prime }\left(t_0\right)=0$. Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình $f\left(t\right)=0$ có nhiều nhất là 2 nghiệm.
Mà $f\left(1\right)=f\left({\log }_{6}2\right)=0$ nên phương trình $f\left(t\right)=0$ có đúng 2 nghiệm là $t=1;t={\log }_{6}2$.
$\left(2\right)$ có tập nghiệm $(\alpha ;\beta )$ sao cho $\beta -\alpha$ lớn nhất $\iff -m^2=0\iff m=0$.
Khi đó $\left(2\right)$ có tập nghiệm là $S^{\prime }=({\log }_{6}2;1)$ nên $\left(1\right)$ có tập nghiệm là $S=({\log }_6^{2}2;1)$.