Google
Câu hỏi: Cho tam giác SAB vuông tại A, $\widehat{ASB}=60{}^\circ $. Phân giác của góc $\widehat{AB\text{S}}$ cắt SA tại I. Vẽ nửa đường tròn tâm I, bán kính IA (như hình vẽ). Cho miền tam giác SAB và nửa hình tròn quay xung quanh trục SA tạo nên cá khối tròn xoay thể tích tương ứng là ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${{V}_{1}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{2}}$
B. ${{V}_{1}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{2}}$
C. ${{V}_{1}}=3{{V}_{2}}$
D. ${{V}_{1}}=\dfrac{9}{4}{{V}_{2}}$
Đặt $AB=x\left( x>0 \right)$. Tam giác SAB vuông tại A $\Rightarrow SA=AB.\tan \widehat{AB\text{S}}=x\sqrt{3}$.
IB là phân giác trong góc B $\Rightarrow \widehat{IBA}=30{}^\circ \Rightarrow IA=AB\tan 30{}^\circ =\dfrac{x}{\sqrt{3}}$.
Quay miền tam giác SAB quanh SA ta được khối nón có chiều cao là SA, bán kính đáy là AB
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .A{{B}^{2}}.SA=\dfrac{1}{3}\pi .{{x}^{2}}.x\sqrt{3}=\dfrac{\pi {{x}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Quay nửa hình tròn tâm I quanh SA ta được khối cầu tâm I, bán kính IA
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi I{{A}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi \dfrac{{{x}^{3}}}{3\sqrt{3}}=\dfrac{4\pi {{x}^{3}}\sqrt{3}}{27}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{9}{4}$.
A. ${{V}_{1}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{2}}$
B. ${{V}_{1}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{2}}$
C. ${{V}_{1}}=3{{V}_{2}}$
D. ${{V}_{1}}=\dfrac{9}{4}{{V}_{2}}$
Đặt $AB=x\left( x>0 \right)$. Tam giác SAB vuông tại A $\Rightarrow SA=AB.\tan \widehat{AB\text{S}}=x\sqrt{3}$.
IB là phân giác trong góc B $\Rightarrow \widehat{IBA}=30{}^\circ \Rightarrow IA=AB\tan 30{}^\circ =\dfrac{x}{\sqrt{3}}$.
Quay miền tam giác SAB quanh SA ta được khối nón có chiều cao là SA, bán kính đáy là AB
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .A{{B}^{2}}.SA=\dfrac{1}{3}\pi .{{x}^{2}}.x\sqrt{3}=\dfrac{\pi {{x}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Quay nửa hình tròn tâm I quanh SA ta được khối cầu tâm I, bán kính IA
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi I{{A}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi \dfrac{{{x}^{3}}}{3\sqrt{3}}=\dfrac{4\pi {{x}^{3}}\sqrt{3}}{27}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{9}{4}$.
Đáp án D.