Google
Câu hỏi: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $b<c$. Khi quay tam giác vuông $ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$, quay cạnh $AC$, quanh cạnh $AB$, ta thu được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng ${{S}_{a}},{{S}_{b}},{{S}_{c}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${{S}_{b}}>{{S}_{c}}>{{S}_{a}}$.
B. ${{S}_{b}}>{{S}_{a}}>{{S}_{c}}$.
C. ${{S}_{c}}>{{S}_{a}}>{{S}_{b}}$.
D. ${{S}_{a}}>{{S}_{c}}>{{S}_{b}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên cạnh $BC,AH=h$.
Khi quay tam giác vuông $ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$ ta thu được hình hợp bởi hai hình nón tròn xoay có chung đáy bán kính bằng $h$, đường sinh lần lượt là $b,c$. Do đó ${{S}_{a}}=\pi bh+\pi ch$.
Khi quay tam giác vuông $ABC$ một vòng quanh cạnh $AC$ ta thu được hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng $c$, đường sinh bằng $a$, ${{S}_{b}}=\pi ac+\pi {{c}^{2}}=\pi c\left( a+c \right)$.
Khi quay tam giác vuông $ABC$ một vòng quanh cạnh $AB$ ta thu được hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng $b$, đường sinh bằng $a$, ${{S}_{c}}=\pi ab+\pi {{b}^{2}}=\pi b\left( a+b \right)$.
Do $b<c$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& ab<ac \\
& {{b}^{2}}<{{c}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{S}_{c}}<{{S}_{b}}$.
Ta có $h=\frac{bc}{a}\Rightarrow {{S}_{a}}=\pi {{b}^{2}}.\frac{c}{a}+\pi {{c}^{2}}.\frac{b}{a}$.
Tam giác $ABC$ vuông nên $\frac{c}{a}<1\Rightarrow \pi {{b}^{2}}\frac{c}{a}<\pi {{b}^{2}}$ ; $\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}<1\Rightarrow \pi {{c}^{2}}\frac{b}{a}<\pi ab$.
$\Rightarrow {{S}_{a}}<\pi {{b}^{2}}+\pi ab=\pi b\left( a+b \right)={{S}_{c}}$. Do đó ${{S}_{a}}<{{S}_{c}}$.
Vậy ${{S}_{b}}>{{S}_{c}}>{{S}_{a}}$.
A. ${{S}_{b}}>{{S}_{c}}>{{S}_{a}}$.
B. ${{S}_{b}}>{{S}_{a}}>{{S}_{c}}$.
C. ${{S}_{c}}>{{S}_{a}}>{{S}_{b}}$.
D. ${{S}_{a}}>{{S}_{c}}>{{S}_{b}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên cạnh $BC,AH=h$.
Khi quay tam giác vuông $ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$ ta thu được hình hợp bởi hai hình nón tròn xoay có chung đáy bán kính bằng $h$, đường sinh lần lượt là $b,c$. Do đó ${{S}_{a}}=\pi bh+\pi ch$.
Khi quay tam giác vuông $ABC$ một vòng quanh cạnh $AC$ ta thu được hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng $c$, đường sinh bằng $a$, ${{S}_{b}}=\pi ac+\pi {{c}^{2}}=\pi c\left( a+c \right)$.
Khi quay tam giác vuông $ABC$ một vòng quanh cạnh $AB$ ta thu được hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng $b$, đường sinh bằng $a$, ${{S}_{c}}=\pi ab+\pi {{b}^{2}}=\pi b\left( a+b \right)$.
Do $b<c$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& ab<ac \\
& {{b}^{2}}<{{c}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{S}_{c}}<{{S}_{b}}$.
Ta có $h=\frac{bc}{a}\Rightarrow {{S}_{a}}=\pi {{b}^{2}}.\frac{c}{a}+\pi {{c}^{2}}.\frac{b}{a}$.
Tam giác $ABC$ vuông nên $\frac{c}{a}<1\Rightarrow \pi {{b}^{2}}\frac{c}{a}<\pi {{b}^{2}}$ ; $\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}<1\Rightarrow \pi {{c}^{2}}\frac{b}{a}<\pi ab$.
$\Rightarrow {{S}_{a}}<\pi {{b}^{2}}+\pi ab=\pi b\left( a+b \right)={{S}_{c}}$. Do đó ${{S}_{a}}<{{S}_{c}}$.
Vậy ${{S}_{b}}>{{S}_{c}}>{{S}_{a}}$.
Đáp án A.