Google
Câu hỏi: Cho số thực ${{z}_{1}}$ và số phức ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{2}}-2i \right|=1$ và $\dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{1+i}$ là số thực. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$. Tính $T=M+m$.
A. $T=4$.
B. $T=4\sqrt{2}$.
C. $T=3\sqrt{2}+1$.
D. $T=\sqrt{2}+3$.
A. $T=4$.
B. $T=4\sqrt{2}$.
C. $T=3\sqrt{2}+1$.
D. $T=\sqrt{2}+3$.
Với ${{z}_{1}}=a\in \mathbb{R}$ ta có $\dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{1+i}=k\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow {{z}_{2}}-a=k\left( 1+i \right)\Leftrightarrow {{z}_{2}}=a+k+ki$
Thay vào giả thiết ta có
$\left| a+k+\left( k-2 \right)i \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+k \right)}^{2}}+{{\left( k-2 \right)}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ka+2{{k}^{2}}-4k+3=0$
${{{\Delta }'}_{a}}\ge 0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-\left( 2{{k}^{2}}-4k+3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-4k+3\le 0\Leftrightarrow 1\le k\le 3$
Khi đó $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|=\left| k \right|\left| 1+i \right|=\sqrt{2}\left| k \right|\in \left| \sqrt{2};3\sqrt{2} \right|.$
Vậy $M=3\sqrt{2},m=\sqrt{2}\Rightarrow T=4\sqrt{2}.$
$\Leftrightarrow {{z}_{2}}-a=k\left( 1+i \right)\Leftrightarrow {{z}_{2}}=a+k+ki$
Thay vào giả thiết ta có
$\left| a+k+\left( k-2 \right)i \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+k \right)}^{2}}+{{\left( k-2 \right)}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ka+2{{k}^{2}}-4k+3=0$
${{{\Delta }'}_{a}}\ge 0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-\left( 2{{k}^{2}}-4k+3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-4k+3\le 0\Leftrightarrow 1\le k\le 3$
Khi đó $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|=\left| k \right|\left| 1+i \right|=\sqrt{2}\left| k \right|\in \left| \sqrt{2};3\sqrt{2} \right|.$
Vậy $M=3\sqrt{2},m=\sqrt{2}\Rightarrow T=4\sqrt{2}.$
Đáp án B.