Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn

\frac{z}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \frac{i - a}{1 - a (a - 2 i)}

. Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khoảng cách giữa hai điểm M và

I (- 3; 4)

(khi a thay đổi) là:
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 6.

Ta có:

\begin{aligned} \frac{z}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \frac{i - a}{1 - a (a - 2 i)} \Leftrightarrow z = \frac{i - a}{1 - a^{2} + 2 a i} \sqrt{a^{2} + 1} \\ \Leftrightarrow z = \frac{i - a}{- {(a - i)}^{2}} \sqrt{a^{2} + 1} \Leftrightarrow z = \frac{\sqrt{a^{2} + 1}}{a - i} = \frac{\sqrt{a^{2} + 1} (a + i)}{a^{2} - i^{2}} \\ \Leftrightarrow z = \frac{\sqrt{a^{2} + 1} (a + i)}{a^{2} + i} \Leftrightarrow z = \frac{a + i}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} i \end{aligned}

M là điểm biểu diễn số phức

z \Rightarrow M (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + 1}}, \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}})

.
Ta có:

{(\frac{a}{\sqrt{a^{2} + 1}})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}})}^{2} = \frac{a^{2} + 1}{a^{2} + 1} = 1

.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn

x^{2} + y^{2} = 1

có tâm

O (0; 0)

bán kính

R = 1

.
Khi đó

I M_{min} = I O - R = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}} - 1 = 5 - 1 = 4

.

Đáp án A.