Google
Câu hỏi: Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn $\dfrac{z}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\dfrac{i-a}{1-a\left( a-2i \right)}$. Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khoảng cách giữa hai điểm M và $I\left( -3;4 \right)$ (khi a thay đổi) là:
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Ta có: $\begin{aligned}
& \ \ \ \ \ \dfrac{z}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\dfrac{i-a}{1-a\left( a-2i \right)}\Leftrightarrow z=\dfrac{i-a}{1-{{a}^{2}}+2ai}\sqrt{{{a}^{2}}+1} \\
& \Leftrightarrow z=\dfrac{i-a}{-{{\left( a-i \right)}^{2}}}\sqrt{{{a}^{2}}+1}\Leftrightarrow z=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}{a-i}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+1}\left( a+i \right)}{{{a}^{2}}-{{i}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow z=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+1}\left( a+i \right)}{{{a}^{2}}+i}\Leftrightarrow z=\dfrac{a+i}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}i \\
\end{aligned}$
M là điểm biểu diễn số phức $z\Rightarrow M\left( \dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}},\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}} \right)$.
Ta có: ${{\left( \dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}+1}{{{a}^{2}}+1}=1$.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ có tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=1$.
Khi đó $I{{M}_{\min }}=IO-R=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}-1=5-1=4$.
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Ta có: $\begin{aligned}
& \ \ \ \ \ \dfrac{z}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\dfrac{i-a}{1-a\left( a-2i \right)}\Leftrightarrow z=\dfrac{i-a}{1-{{a}^{2}}+2ai}\sqrt{{{a}^{2}}+1} \\
& \Leftrightarrow z=\dfrac{i-a}{-{{\left( a-i \right)}^{2}}}\sqrt{{{a}^{2}}+1}\Leftrightarrow z=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}{a-i}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+1}\left( a+i \right)}{{{a}^{2}}-{{i}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow z=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+1}\left( a+i \right)}{{{a}^{2}}+i}\Leftrightarrow z=\dfrac{a+i}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}i \\
\end{aligned}$
M là điểm biểu diễn số phức $z\Rightarrow M\left( \dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}},\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}} \right)$.
Ta có: ${{\left( \dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}+1}{{{a}^{2}}+1}=1$.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ có tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=1$.
Khi đó $I{{M}_{\min }}=IO-R=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}-1=5-1=4$.
Đáp án A.