Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=x+yi$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=\left| \bar{z}-2-3i \right|$ và $\left| z \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 3x−y bằng
A. -6.
B. $-\dfrac{8}{3}.$
C. $\dfrac{4}{3}.$
D. 3.
A. -6.
B. $-\dfrac{8}{3}.$
C. $\dfrac{4}{3}.$
D. 3.
Ta có $\left| z-i \right|=\left| \bar{z}-2-3i \right|\Leftrightarrow \left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\left| x-2-\left( y+3 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x=2y+3$
$\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{5{{y}^{2}}+12y+9}=\sqrt{5{{\left( y+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{5}}\ge \dfrac{3}{\sqrt{5}}.$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow y=-\dfrac{6}{5};x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow 3x-y=3.$ Chọn D.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x=2y+3$
$\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{5{{y}^{2}}+12y+9}=\sqrt{5{{\left( y+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{5}}\ge \dfrac{3}{\sqrt{5}}.$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow y=-\dfrac{6}{5};x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow 3x-y=3.$ Chọn D.
Đáp án D.