Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $(z+1)(\overline{z}-2i)$ là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một dường tròn có diện tích bằng
A. 5π
B. $\dfrac{5\pi }{4}$
C. $\dfrac{5\pi }{2}$
D. 25π
A. 5π
B. $\dfrac{5\pi }{4}$
C. $\dfrac{5\pi }{2}$
D. 25π
Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$.
Khi đó $(z+1)(\overline{z}-2i)=(x+1+yi)\left[ x-(y+2)i \right]={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y-(2\text{x}+y+2)i$ là số thuần ảo.
Suy ra: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y=0\Leftrightarrow {{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=\dfrac{5}{4}$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính $R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow S=\pi {{R}^{2}}=\dfrac{5\pi }{4}$.
Khi đó $(z+1)(\overline{z}-2i)=(x+1+yi)\left[ x-(y+2)i \right]={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y-(2\text{x}+y+2)i$ là số thuần ảo.
Suy ra: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y=0\Leftrightarrow {{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=\dfrac{5}{4}$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính $R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow S=\pi {{R}^{2}}=\dfrac{5\pi }{4}$.
Đáp án B.