Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z-4 \right|+2\left| z-3+2i \right|$.
A. $P=2\sqrt{5}$.
B. $P=\sqrt{3}$.
C. $P=4\sqrt{2}$.
D. $P=\sqrt{2}$.
Gọi $M\left( x; y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z$, ta có $\left| z \right|=2$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
Gọi $A\left( 4;0 \right)$, $B\left( 3; -2 \right)$, khi đó $P=\left| z-4 \right|+2\left| z-3+2i \right|$ $=MA+2MB$.
Ta có $MA=\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+16}$ $=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+4+3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}=\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-8x+4}$ $=2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2ME$ với $E\left( 1; 0 \right)$.
Thấy $E$ nằm trong và $B$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
Ta được $P=MA+2MB=2ME+2MB\ge 2EB$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $E$, $ M$, $B$ thẳng hàng. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng ${2EB=2\sqrt{4+4}=4\sqrt{2}}$.
A. $P=2\sqrt{5}$.
B. $P=\sqrt{3}$.
C. $P=4\sqrt{2}$.
D. $P=\sqrt{2}$.
Gọi $M\left( x; y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z$, ta có $\left| z \right|=2$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
Gọi $A\left( 4;0 \right)$, $B\left( 3; -2 \right)$, khi đó $P=\left| z-4 \right|+2\left| z-3+2i \right|$ $=MA+2MB$.
Ta có $MA=\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+16}$ $=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+4+3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}=\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-8x+4}$ $=2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2ME$ với $E\left( 1; 0 \right)$.
Thấy $E$ nằm trong và $B$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
Ta được $P=MA+2MB=2ME+2MB\ge 2EB$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $E$, $ M$, $B$ thẳng hàng. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng ${2EB=2\sqrt{4+4}=4\sqrt{2}}$.
Đáp án C.