Cho số phức z thỏa mãn $\left| z+\overline{z} \right|+\left|...

Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi$. Ta có:
$z+\overline{z}=2x,z-\overline{z}=2yi,{{z}^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi$
$\left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=\left| {{z}^{2}} \right|\Leftrightarrow 2\left| x \right|+2\left| y \right|={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\left| x \right|-2\left| y \right|=0$
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là 4 cung tròn lớn thuộc 4 góc phần tư của 4 đường tròn tâm $A\left( -1;1 \right),B\left( 1;1 \right),C\left( 1;-1 \right),D\left( -1;-1 \right)$ bán kính $R=\sqrt{2}$.
Lại có $P=\left| z-5-2i \right|$ nên z thuộc đường tròn tâm $E\left( 5;2 \right)$ bán kính bằng P.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện trên. Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi đường tròn tâm $E\left( 5;2 \right)$ bán kính bằng P cắt một trong bốn cung tròn ở trên tại điểm xa E nhất. Kẻ đường thẳng ED cắt đường tròn tâm D tại F và H thì ${{P}_{\max }}=EF=ED+DF=3\sqrt{5}+\sqrt{2}$
Note 36: Phương pháp chung
Bước 1: Từ giả thiết biến đổi tìm ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z (đường thẳng, đường tròn, …vv)
Bước 2: Sử dụng các bất đẳng thức hình học để đưa ra đáp án.