Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn: $\left| z-4+3i \right|-\left| \overline{z}+4+3i \right|=10$ và $\left| z-3-4i \right|$ nhỏ nhất. Mô đun của số phức $z$ bằng
A. 6.
B. 7.
C. 5.
D. 8.
A. 6.
B. 7.
C. 5.
D. 8.
Đặt $z=x+yi$ ta có: $\left| \left( x+yi \right)-\left( 4-3i \right) \right|-\left( \left| x-yi \right|+4+3i \right)=10$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( 3-y \right)}^{2}}}=10\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}=10$
Gọi $M\left( x;y \right),A\left( 4;-3 \right),B\left( -4;3 \right)$ ta có: $MA-MB=10=AB\Rightarrow M$ thuộc tia đối tia $BA$
Phương trình đường thẳng $AB$ là $3x+4y=0\Leftrightarrow y=-\dfrac{3}{4}x$.
Ta có: $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{3}{4}x-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{25}{16}{{x}^{2}}+25}$
Do $M$ thuộc tia đối tia $BA$ nên $x\le -4\Rightarrow {{\left| z-3-4i \right|}_{\min }}\Leftrightarrow x=-4\Rightarrow y=3\Rightarrow \left| z \right|=5$.
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( 3-y \right)}^{2}}}=10\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}=10$
Gọi $M\left( x;y \right),A\left( 4;-3 \right),B\left( -4;3 \right)$ ta có: $MA-MB=10=AB\Rightarrow M$ thuộc tia đối tia $BA$
Phương trình đường thẳng $AB$ là $3x+4y=0\Leftrightarrow y=-\dfrac{3}{4}x$.
Ta có: $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{3}{4}x-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{25}{16}{{x}^{2}}+25}$
Do $M$ thuộc tia đối tia $BA$ nên $x\le -4\Rightarrow {{\left| z-3-4i \right|}_{\min }}\Leftrightarrow x=-4\Rightarrow y=3\Rightarrow \left| z \right|=5$.
Đáp án C.