Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left( z-3+i \right)\left( 1-i \right)={{\left( 1+i \right)}^{2017}}$. Khi đó số phức $w=z-i$ có phần ảo bằng
A. ${{2}^{1008}}-1$
B. ${{2}^{1008}}-2$
C. ${{2}^{1008}}$
D. ${{2}^{1009}}-1$
A. ${{2}^{1008}}-1$
B. ${{2}^{1008}}-2$
C. ${{2}^{1008}}$
D. ${{2}^{1009}}-1$
Ta có $\left( z-3+i \right)\left( 1-i \right)={{\left( 1+i \right)}^{2017}}\Leftrightarrow \left( z-3+i \right)\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)={{\left( 1+i \right)}^{2018}}$
$\Leftrightarrow z=\dfrac{{{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1009}}}{\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)}+3-i=\dfrac{{{\left( 2i \right)}^{1009}}}{2}+3-i={{2}^{1008}}i+3-i$
Suy ra $w=z-i={{2}^{1008}}i+3-i-i=3+\left( {{2}^{1008}}-2 \right)i$
Vậy số phức w có phần ảo bằng ${{2}^{1008}}-2$
$\Leftrightarrow z=\dfrac{{{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1009}}}{\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)}+3-i=\dfrac{{{\left( 2i \right)}^{1009}}}{2}+3-i={{2}^{1008}}i+3-i$
Suy ra $w=z-i={{2}^{1008}}i+3-i-i=3+\left( {{2}^{1008}}-2 \right)i$
Vậy số phức w có phần ảo bằng ${{2}^{1008}}-2$
Đáp án B.