Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+1 \right|.$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ là
A. Một đường thẳng.
B. Một đoạn thẳng.
C. Một đường tròn.
D. Một đường elip.
A. Một đường thẳng.
B. Một đoạn thẳng.
C. Một đường tròn.
D. Một đường elip.
Cách 1: Giả sử $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ có điểm biểu diễn là $M\left( x;y \right).$
Ta có: $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+1 \right|\Leftrightarrow \left| x+yi-2i \right|=\left| x-yi+1 \right|$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2x+4y-3=0$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+1 \right|$ trong mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.
Cách 2: $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+1 \right|\Leftrightarrow \left| z-2i \right|=\left| \overline{\left( \overline{z}+1 \right)} \right|\Leftrightarrow \left| z-2i \right|=\left| z+1 \right|$
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và $A\left( 0;2 \right)$ và $B\left( -1;0 \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}}=2i$ và ${{z}_{2}}=-1.$
Khi đó ta có $\left| z-2i \right|=\left| z+1 \right|\Leftrightarrow MA=MB\Leftrightarrow M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+1 \right|$ trong mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.
Ta có: $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+1 \right|\Leftrightarrow \left| x+yi-2i \right|=\left| x-yi+1 \right|$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2x+4y-3=0$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+1 \right|$ trong mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.
Cách 2: $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+1 \right|\Leftrightarrow \left| z-2i \right|=\left| \overline{\left( \overline{z}+1 \right)} \right|\Leftrightarrow \left| z-2i \right|=\left| z+1 \right|$
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và $A\left( 0;2 \right)$ và $B\left( -1;0 \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}}=2i$ và ${{z}_{2}}=-1.$
Khi đó ta có $\left| z-2i \right|=\left| z+1 \right|\Leftrightarrow MA=MB\Leftrightarrow M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+1 \right|$ trong mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.
Đáp án A.