Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}-i.z \right|=\left|...

$\left| {{z}^{2}}-i.z \right|=\left| \overline{{{z}^{2}}}-\overline{z}.i \right|\Leftrightarrow \left| {{z}^{2}}-i.z \right|=\left| {{z}^{2}}+i.z \right|\Leftrightarrow \left| z \right|\left| z-i \right|=\left| z \right|\left| z+i \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left| z \right|=0 \\
\left| z-i \right|=\left| z+i \right| \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức là gốc tọa độ $O\left( 0;0 \right)$ hoặc thuộc đường thẳng $d:x=0$ với $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ với $A\left( 0;1 \right)$, $B\left( 0;-1 \right)$.
TH1: $M\equiv O$, $P=\left| z-2-i \right|+\left| z-3-2i \right|=\sqrt{5}+\sqrt{13}$.
TH2: $M\in d$, $P=MC+MD$ với $C\left( 2;1 \right)$ và $D\left( 3;2 \right)$.
Do $C\left( 2;1 \right)$ và $D\left( 3;2 \right)$ khác phía so với $d:x=0$ nên gọi ${C}'\left( 2;-1 \right)$ là điểm đối xứng của $C$ qua $d:x=0$. Khi đó $P=MC+MD=M{C}'+MD\ge {C}'D=\sqrt{10}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z-2-i \right|+\left| z-3-2i \right|$ là $\sqrt[{}]{10}$.