Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left( z+1 \right)\left( \overline{z}-2i \right)$ là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng:
A. $S=5\pi .$
B. $S=\dfrac{5\pi }{4}.$
C. $S=\dfrac{5\pi }{2}.$
D. $S=25\pi .$
A. $S=5\pi .$
B. $S=\dfrac{5\pi }{4}.$
C. $S=\dfrac{5\pi }{2}.$
D. $S=25\pi .$
Giả sử $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ có điểm biểu diễn là $M\left( x;y \right)$
Ta có $\left( z+1 \right)\left( \overline{z}-2i \right)=\left( x+yi+1 \right)\left( x-yi-2i \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\left( x+1 \right)i.$
$\left( z+1 \right)\left( \overline{z}-2i \right)$ là một số thuần ảo khi và chỉ khi ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y=0 \left( * \right)$ và $-2\left( x+1 \right)\ne 0 \left( ** \right).$
Xét $\left( * \right):{{A}^{2}}+{{B}^{2}}-C={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}-0=\dfrac{5}{4}>0.$ Vậy (*) là phương trình một đường tròn có bán kính $R=\dfrac{\sqrt{5}}{2},$ do đó có diện tích $S=\pi {{R}^{2}}=\dfrac{5\pi }{4}.$
Ta có $\left( z+1 \right)\left( \overline{z}-2i \right)=\left( x+yi+1 \right)\left( x-yi-2i \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\left( x+1 \right)i.$
$\left( z+1 \right)\left( \overline{z}-2i \right)$ là một số thuần ảo khi và chỉ khi ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y=0 \left( * \right)$ và $-2\left( x+1 \right)\ne 0 \left( ** \right).$
Xét $\left( * \right):{{A}^{2}}+{{B}^{2}}-C={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}-0=\dfrac{5}{4}>0.$ Vậy (*) là phương trình một đường tròn có bán kính $R=\dfrac{\sqrt{5}}{2},$ do đó có diện tích $S=\pi {{R}^{2}}=\dfrac{5\pi }{4}.$
Đáp án B.