Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left( z+1 \right)\left( \overline{z}-2i \right)$ là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng
A. $5\pi $.
B. $\dfrac{5\pi }{4}$.
C. $\dfrac{5\pi }{2}$.
D. $25\pi $.
A. $5\pi $.
B. $\dfrac{5\pi }{4}$.
C. $\dfrac{5\pi }{2}$.
D. $25\pi $.
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Khi đó $\left( z+1 \right)\left( \overline{z}-2i \right)=\left( x+1+yi \right)\left[ x-\left( y+2 \right)i \right]={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y-\left( 2x+y+2 \right)i$ là số thuần ảo.
Suy ra: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y=0\Leftrightarrow {{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính $R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow S=\pi {{R}^{2}}=\dfrac{5\pi }{4}$.
Khi đó $\left( z+1 \right)\left( \overline{z}-2i \right)=\left( x+1+yi \right)\left[ x-\left( y+2 \right)i \right]={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y-\left( 2x+y+2 \right)i$ là số thuần ảo.
Suy ra: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+2y=0\Leftrightarrow {{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính $R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow S=\pi {{R}^{2}}=\dfrac{5\pi }{4}$.
Đáp án C.