Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=3$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $w=\left( 3+4i \right)z$ là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm $I$ của đường tròn đó.
A. $I\left( -7;-1 \right)$
B. $I\left( 7;-1 \right)$
C. $I\left( -7; 1 \right)$
D. $I\left( 7; 1 \right)$
A. $I\left( -7;-1 \right)$
B. $I\left( 7;-1 \right)$
C. $I\left( -7; 1 \right)$
D. $I\left( 7; 1 \right)$
Đặt $w=x+yi$
Ta có $w=\left( 3+4i \right)z\Rightarrow z=\dfrac{w}{3+4i}=\dfrac{x+yi}{3+4i}=\dfrac{\left( x+yi \right)\left( 3-4i \right)}{\left( 3+4i \right)\left( 3-4i \right)}=\dfrac{\left( 3x+4y \right)+\left( -4x+3y \right)i}{25}$
Lại có $\left| z-1+i \right|=3\Leftrightarrow \left| \dfrac{x+yi}{3+4i}-1+i \right|=3$ $\Leftrightarrow \left| \dfrac{\left( 3x+4y-25 \right)+\left( -4x+3y+25 \right)i}{25} \right|=3$
$\Leftrightarrow \left| \left( 3x+4y-25 \right)+\left( -4x+3y+25 \right)i \right|=75$ $\Leftrightarrow {{\left( 3x+4y-25 \right)}^{2}}+{{\left( -4x+3y+25 \right)}^{2}}=75$
$\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+625+24xy-150x-200y+16{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}+625-24xy-200x+150y=5625$
$\Leftrightarrow 25{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}-350x-50y-4375=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-14x-2y-175=0$
Vậy tập hợp là đường tròn có tâm $I\left( 7; 1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{7}^{2}}+{{1}^{2}}+175}=15$
Ta có $w=\left( 3+4i \right)z\Rightarrow z=\dfrac{w}{3+4i}=\dfrac{x+yi}{3+4i}=\dfrac{\left( x+yi \right)\left( 3-4i \right)}{\left( 3+4i \right)\left( 3-4i \right)}=\dfrac{\left( 3x+4y \right)+\left( -4x+3y \right)i}{25}$
Lại có $\left| z-1+i \right|=3\Leftrightarrow \left| \dfrac{x+yi}{3+4i}-1+i \right|=3$ $\Leftrightarrow \left| \dfrac{\left( 3x+4y-25 \right)+\left( -4x+3y+25 \right)i}{25} \right|=3$
$\Leftrightarrow \left| \left( 3x+4y-25 \right)+\left( -4x+3y+25 \right)i \right|=75$ $\Leftrightarrow {{\left( 3x+4y-25 \right)}^{2}}+{{\left( -4x+3y+25 \right)}^{2}}=75$
$\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+625+24xy-150x-200y+16{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}+625-24xy-200x+150y=5625$
$\Leftrightarrow 25{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}-350x-50y-4375=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-14x-2y-175=0$
Vậy tập hợp là đường tròn có tâm $I\left( 7; 1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{7}^{2}}+{{1}^{2}}+175}=15$
Đáp án D.