Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1-i \right|=1$, số phức $w$ thỏa mãn $\left| \overline{w}-2-3i \right|=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z-w \right|$.
A. $\sqrt{17}+3$.
B. $\sqrt{13}+3$.
C. $\sqrt{13}-3$.
D. $\sqrt{17}-3$.
A. $\sqrt{17}+3$.
B. $\sqrt{13}+3$.
C. $\sqrt{13}-3$.
D. $\sqrt{17}-3$.
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=x+yi$ thì $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$.
$N\left( {x}';{y}' \right)$ biểu diễn số phức $w={x}'+{y}'i$ thì $N$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;-3 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| z-w \right|$ chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn $MN$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 1;-4 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{17}>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ ở ngoài nhau.
$\Rightarrow \min MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=\sqrt{17}-3$.
$N\left( {x}';{y}' \right)$ biểu diễn số phức $w={x}'+{y}'i$ thì $N$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;-3 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| z-w \right|$ chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn $MN$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 1;-4 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{17}>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ ở ngoài nhau.
$\Rightarrow \min MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=\sqrt{17}-3$.
Đáp án D.