Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| \left( 1+i \right)z+1-3i...

Cách 1
$\left| \left( 1+i \right)z+1-3i \right|=3\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left| 1+i \right|\left| z+\dfrac{1-3i}{1+i} \right|=3\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left| z-\left( 1+2i \right) \right|=3 \left( 1 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{OM}=\left( x; y \right)$, $\overrightarrow{OI}=\left( 1; 2 \right)$ là vec-tơ biểu diễn cho các số phức $z=x+iy$, $\text{w}=1+2i$.
Từ $\left( 1 \right)$ có $\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OI} \right|=3$ $\Leftrightarrow MI=3$.
Suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 1; 2 \right)$ bán kính $R=3$, $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{3}}=9$
Gọi $\overrightarrow{OA}=\left( -2; -1 \right)$, $\overrightarrow{OB}=\left( 2; 3 \right)$ lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức $a=-2-i$, $b=2+3i$.
Có $\overrightarrow{IA}=\left( -3; -3 \right)$, $\overrightarrow{IB}=\left( 1;1 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.
Lúc đó $P=MA+\sqrt{6}MB=MA+\sqrt{2}.\sqrt{3}MB$ $\le \sqrt{3\left( M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}} \right)}$.
Có $M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM} \right)}^{2}}$ $=4I{{M}^{2}}+I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}$.
Có $I{{M}^{2}}=9$, $I{{A}^{2}}=18$, $I{{B}^{2}}=2$, nên $M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=60$.
Suy ra $P\le \sqrt{3.60}=6\sqrt{5}$.
Có $P=6\sqrt{5}$ $\Leftrightarrow \dfrac{MA}{1}=\dfrac{\sqrt{3}MB}{\sqrt{2}}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $P=6\sqrt{5}$.
Cách 2.
Giả sử $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$ khi đó $\left| \left( 1+i \right)z+1-3i \right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| x-y+1+\left( x+y-3 \right)i \right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y-4=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=9$. Do đó $M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 1;2 \right)$, bán kính $R=3$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a=x-1 \\
& b=y-2 \\
\end{aligned} \right. $ Ta có $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9 $. Gọi $ A=\left( -2; -1 \right) $, $ B=\left( 2; 3 \right)$
$P=\left| z+2+i \right|+\sqrt{6}\left| z-2-3i \right|=MA+\sqrt{6}MB=\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{6\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}} \right]}$
$=\sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}+\sqrt{6\left[ {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]}=\sqrt{6\left( a+b \right)+27}+\sqrt{6}\sqrt{\left( -2 \right)\left( a+b \right)+11}$
$=\sqrt{6\left( a+b \right)+27}+\sqrt{2}\sqrt{\left( -6 \right)\left( a+b \right)+33}\le \sqrt{\left( 1+2 \right)\left( 27+33 \right)}=6\sqrt{5}$.