Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| \dfrac{\left( 2-i \right)z-3i-1}{z-i} \right|=2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $\text{w}=\dfrac{1}{iz+1}$. Xét các số phức ${{\text{w}}_{1}},{{\text{w}}_{2}}\in S$ thỏa mãn $\left| {{\text{w}}_{1}}-{{\text{w}}_{2}} \right|=2$, giá trị lớn nhất của $P={{\left| {{\text{w}}_{1}}-4i \right|}^{2}}-{{\left| {{\text{w}}_{2}}-4i \right|}^{2}}$ bằng.
A. $4\sqrt{29}$.
B. $4\sqrt{13}$.
C. $2\sqrt{13}$.
D. $2\sqrt{29}$.
A. $4\sqrt{29}$.
B. $4\sqrt{13}$.
C. $2\sqrt{13}$.
D. $2\sqrt{29}$.
+ $\left| \dfrac{\left( 2-i \right)z-3i-1}{z-i} \right|=2\Leftrightarrow \left| 2-i-\dfrac{i}{z-i} \right|=2\Leftrightarrow \left| 2-i+\dfrac{1}{iz+1} \right|=2\Leftrightarrow \left| \text{w}+2-i \right|=2$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\text{w}$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;1 \right)$, bán kính $R=2$.
+ ${{\text{w}}_{1}},{{\text{w}}_{2}}\in S$ được biểu điễn bởi $M,N$ nên $M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ và $\left| {{\text{w}}_{1}}-{{\text{w}}_{2}} \right|=MN=2$. Gọi $A\left( 0;4 \right)$.
$\begin{aligned}
& + P={{\left| {{\text{w}}_{1}}-4i \right|}^{2}}-{{\left| {{\text{w}}_{2}}-4i \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}-N{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}-{{\overrightarrow{NA}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}} \\
& =M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}-N{{I}^{2}}-2\overrightarrow{NI}.\overrightarrow{IA}-I{{A}^{2}}=2\overrightarrow{IA}\left( \overrightarrow{MI}-\overrightarrow{NI} \right)=2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN} \\
& P=2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN}=2IA.MN.\cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{MN} \right)\le 2IA.MN \\
\end{aligned}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\overrightarrow{IA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$
Ta có. $IA=\sqrt{13}\Rightarrow P\le 2.\sqrt{13}.2=4\sqrt{13}$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $4\sqrt{13}$.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\text{w}$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;1 \right)$, bán kính $R=2$.
+ ${{\text{w}}_{1}},{{\text{w}}_{2}}\in S$ được biểu điễn bởi $M,N$ nên $M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ và $\left| {{\text{w}}_{1}}-{{\text{w}}_{2}} \right|=MN=2$. Gọi $A\left( 0;4 \right)$.
$\begin{aligned}
& + P={{\left| {{\text{w}}_{1}}-4i \right|}^{2}}-{{\left| {{\text{w}}_{2}}-4i \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}-N{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}-{{\overrightarrow{NA}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}} \\
& =M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}-N{{I}^{2}}-2\overrightarrow{NI}.\overrightarrow{IA}-I{{A}^{2}}=2\overrightarrow{IA}\left( \overrightarrow{MI}-\overrightarrow{NI} \right)=2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN} \\
& P=2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN}=2IA.MN.\cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{MN} \right)\le 2IA.MN \\
\end{aligned}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\overrightarrow{IA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$
Ta có. $IA=\sqrt{13}\Rightarrow P\le 2.\sqrt{13}.2=4\sqrt{13}$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $4\sqrt{13}$.
Đáp án B.