Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left( 2+3i \right)\left| z \right|=\left( 4+3i \right)z-15\left( 1-i \right).$ Tính $\left| z+7-2i \right|.$
A. $5\sqrt{6}.$
B. $2\sqrt{31}.$
C. $2\sqrt{39}.$
D. $\sqrt{146}.$
A. $5\sqrt{6}.$
B. $2\sqrt{31}.$
C. $2\sqrt{39}.$
D. $\sqrt{146}.$
Đặt $z=a+bi$ và $x=\left| z \right|,$ với $a,b,x\in \mathbb{R}$
Ta có $\left( 2+3i \right)\left| z \right|=\left( 4+3i \right)z-15\left( 1-i \right)\Leftrightarrow 2\left| z \right|+15+\left( 3\left| z \right|-15 \right)i=\left( 4+3i \right)\left| z \right|,\left( * \right)$
Lấy môđun hai vế của (*) ta được: $\sqrt{{{\left( 2\left| z \right|+15 \right)}^{2}}+{{\left( 3\left| z \right|-15 \right)}^{2}}}=5\left| z \right|$
$\Rightarrow 12{{\left| z \right|}^{2}}+30\left| z \right|-450=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=5>0 \\
& \left| z \right|=-\dfrac{15}{2}<0 \\
\end{aligned} \right.$
Thay $\left| z \right|$ vào giả thiết ban đầu ta được
$\left( 2+3i \right)5=\left( 4+3i \right)z-15\left( 1-i \right)\Rightarrow z=\dfrac{25}{4+3i}=4-3i.$ Vậy $\left| z+7-2i \right|=\left| 11-5i \right|=\sqrt{146}.$
Ta có $\left( 2+3i \right)\left| z \right|=\left( 4+3i \right)z-15\left( 1-i \right)\Leftrightarrow 2\left| z \right|+15+\left( 3\left| z \right|-15 \right)i=\left( 4+3i \right)\left| z \right|,\left( * \right)$
Lấy môđun hai vế của (*) ta được: $\sqrt{{{\left( 2\left| z \right|+15 \right)}^{2}}+{{\left( 3\left| z \right|-15 \right)}^{2}}}=5\left| z \right|$
$\Rightarrow 12{{\left| z \right|}^{2}}+30\left| z \right|-450=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=5>0 \\
& \left| z \right|=-\dfrac{15}{2}<0 \\
\end{aligned} \right.$
Thay $\left| z \right|$ vào giả thiết ban đầu ta được
$\left( 2+3i \right)5=\left( 4+3i \right)z-15\left( 1-i \right)\Rightarrow z=\dfrac{25}{4+3i}=4-3i.$ Vậy $\left| z+7-2i \right|=\left| 11-5i \right|=\sqrt{146}.$
Đáp án D.