Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \dfrac{z+2-i}{\overline{z}+1-i} \right|=\sqrt{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$.
A. $3+\sqrt{10}$.
B. $-3-\sqrt{10}$.
C. $-3+\sqrt{10}$.
D. $3-\sqrt{10}$.
A. $3+\sqrt{10}$.
B. $-3-\sqrt{10}$.
C. $-3+\sqrt{10}$.
D. $3-\sqrt{10}$.
Giả sử $z=x+yi (x,y\in \mathbb{R})$.
Ta có $\left| \dfrac{z+2-i}{\overline{z}+1-i} \right|=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left| z+2-i \right|=\sqrt{2}.\left| \overline{z}+1-i \right|$ $\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=2\left[ {{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}=10$ (*) $\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1-6y$ $\Leftrightarrow \left| z \right|=\sqrt{1-6y}$.
Từ (*) dễ thấy $y\in \left[ -3-\sqrt{10};-3+\sqrt{10} \right]$ $\Rightarrow {{\left( \sqrt{10}-3 \right)}^{2}}\le 1-6y\le {{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{2}}$
$\Rightarrow \sqrt{10}-3\le \left| z \right|\le \sqrt{10}+3$
Vậy $\max \left| z \right|=3+\sqrt{10}$.
Ta có $\left| \dfrac{z+2-i}{\overline{z}+1-i} \right|=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left| z+2-i \right|=\sqrt{2}.\left| \overline{z}+1-i \right|$ $\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=2\left[ {{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}=10$ (*) $\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1-6y$ $\Leftrightarrow \left| z \right|=\sqrt{1-6y}$.
Từ (*) dễ thấy $y\in \left[ -3-\sqrt{10};-3+\sqrt{10} \right]$ $\Rightarrow {{\left( \sqrt{10}-3 \right)}^{2}}\le 1-6y\le {{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{2}}$
$\Rightarrow \sqrt{10}-3\le \left| z \right|\le \sqrt{10}+3$
Vậy $\max \left| z \right|=3+\sqrt{10}$.
Đáp án A.