T

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z+2 \right|=\left| z+2i...

Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z+2|=|z+2i|. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=|z12i|+|z34i|+|z56i|
được viết dưới dạng (a+b17)/2 với a,b là các hữu tỉ. Giá trị của a+b
A. 3
B. 2
C. 7
D. 4
image19.png

Cách 1.
-Đặt E(2;0),F(0;2),A(1;2),B(3;4),C(5;6),M(x;y) biểu diễn cho số phức z.
-Từ giả thiết., ta có M thuộc đường trung trực Δ:y=x của đoạn EFP=AM+BM+CM.
-Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng Δ.
+ Với M tùy ý thuộc Δ,M khác M. Gọi A là điểm đối xứng của A qua Δ. Nhận thấy rằng ba điểm A,M,C thẳng hàng.
+ Ta có AM+BM+CM=AM+BM+CM.AM+CM>AC=AM+CM=AM+CM. Lại có BM>BM. Do đó AM+BM+CM>AM+BM+CM.
Cách 2.
-
Gọi z=x+yi,(x,yR). Từ giả thiết |z+2|=|z+2i|, dẫn đến y=x. Khi đó z=x+xi.
- P=(x1)2+(x2)2+(x3)2+(x4)2+(x5)2+(x6)2.
-Sử dụng bất đẳng thức
a2+b2+c2+d2(a+c)2+(b+d)2.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ac=bd. Ta có
(x1)2+(x2)2+(x5)2+(x6)2=(x1)2+(x2)2+(5x)2+(6x)2
(x1+6x)2+(x2+5x)2
34
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x16x=x25xx=72.
-Mặt khác
(x3)2+(x4)2=2x214x+25=2(x72)2+1412.
Dấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=72.
-Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của (P)1+2172. Khi đó a+b=3.
Đáp án A.
 

Quảng cáo

Back
Top