Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z+2 \right|=\left| z+2i...

Cách 1.
-Đặt $E\left( -2;0 \right),F\left( 0;-2 \right),A\left( 1;2 \right),B\left( 3;4 \right),C\left( 5;6 \right),M\left( x;y \right)$ biểu diễn cho số phức $z.$
-Từ giả thiết., ta có $M$ thuộc đường trung trực $\Delta :y=x$ của đoạn $EF$ và $P=AM+BM+CM.$
-Ta chứng minh điểm $M$ chính là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $\Delta .$
+ Với $M'$ tùy ý thuộc $\Delta ,M'$ khác $M.$ Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta .$ Nhận thấy rằng ba điểm $A',M,C$ thẳng hàng.
+ Ta có $AM'+BM'+CM'=A'M'+BM'+CM'.$ Mà $A'M'+CM'>A'C=A'M+CM=AM+CM.$ Lại có $BM'>BM.$ Do đó $AM'+BM'+CM'>AM+BM+CM.$
Cách 2.
-Gọi $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$ Từ giả thiết $\left| z+2 \right|=\left| z+2i \right|,$ dẫn đến $y=x.$ Khi đó $z=x+xi.$
- $P=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( x-4 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( x-6 \right)}^{2}}}.$
-Sử dụng bất đẳng thức
$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}.$ Ta có
$\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( x-6 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 5-x \right)}^{2}}+{{\left( 6-x \right)}^{2}}}$
$\ge \sqrt{{{\left( x-1+6-x \right)}^{2}}+{{\left( x-2+5-x \right)}^{2}}}$
$\ge \sqrt{34}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x-1}{6-x}=\dfrac{x-2}{5-x}\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2}.$
-Mặt khác
$\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( x-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}-14x+25}=\sqrt{2}\sqrt{{{\left( x-\dfrac{7}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{4}}\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Dấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\dfrac{7}{2}.$
-Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của $\left( P \right)$ là $\dfrac{1+2\sqrt{17}}{\sqrt{2}}$. Khi đó $a+b=3.$